与えられた微分方程式 $y' + 4y = 3e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ となる解を選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' + 4y = 3e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ となる解を選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式は1階線形微分方程式なので、積分因子を求めます。積分因子 $\mu(x)$ は $e^{\int 4 dx} = e^{4x}$ となります。

次に、微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^{4x} y' + 4e^{4x} y = 3e^{-4x} e^{4x}$

$e^{4x} y' + 4e^{4x} y = 3$

左辺は $(e^{4x}y)'$ と変形できるので、以下のように書き換えられます。

$(e^{4x}y)' = 3$

両辺を積分します。

$\int (e^{4x}y)' dx = \int 3 dx$

$e^{4x}y = 3x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。一般解は以下のようになります。

$y = (3x + C)e^{-4x}$

初期条件 $x=0$ のとき $y=1$ を代入します。

$1 = (3(0) + C)e^{-4(0)}$

$1 = (0 + C)e^{0}$

$1 = C(1)$

$C = 1$

したがって、初期条件を満たす解は

$y = (3x + 1)e^{-4x}$

3. 最終的な答え

3. $y = (3x+1) e^{-4x}$