$\sin 75^\circ + \sin 120^\circ - \cos 150^\circ + \cos 165^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin 75^\circ + \sin 120^\circ - \cos 150^\circ + \cos 165^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 75^\circ$、$\sin 120^\circ$、$\cos 150^\circ$、$\cos 165^\circ$ の値をそれぞれ計算する。

$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = - \cos 30^\circ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 165^\circ = \cos (180^\circ - 15^\circ) = - \cos 15^\circ = - \cos (45^\circ - 30^\circ) = - (\cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ) = - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

したがって、

$\sin 75^\circ + \sin 120^\circ - \cos 150^\circ + \cos 165^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$