以下の4つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} e^x x^2 dx$ (2) $\int_{1}^{3} \frac{1 - \log x}{x^2} dx$ (3) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} (\sin x + \cos x) dx$

## 定積分の計算問題

1. 問題の内容

以下の4つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} e^x x^2 dx$

(2) $\int_{1}^{3} \frac{1 - \log x}{x^2} dx$

(3) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} (\sin x + \cos x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} e^x x^2 dx$

部分積分を2回用います。

$u = x^2, dv = e^x dx$とすると、$du = 2x dx, v = e^x$なので、

$\int_{0}^{1} e^x x^2 dx = [x^2 e^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2x e^x dx = e - 2\int_{0}^{1} x e^x dx$

さらに部分積分を行います。

$u = x, dv = e^x dx$とすると、$du = dx, v = e^x$なので、

$\int_{0}^{1} x e^x dx = [xe^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x dx = e - [e^x]_{0}^{1} = e - (e-1) = 1$

よって、

$\int_{0}^{1} e^x x^2 dx = e - 2(1) = e - 2$

(2) $\int_{1}^{3} \frac{1 - \log x}{x^2} dx$

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^2}dx - \int_{1}^{3} \frac{\log x}{x^2}dx$と分けます。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^2}dx = [- \frac{1}{x}]_{1}^{3} = - \frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3}$

$\int_{1}^{3} \frac{\log x}{x^2}dx$に対して部分積分を行います。

$u = \log x, dv = \frac{1}{x^2} dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = - \frac{1}{x}$なので、

$\int_{1}^{3} \frac{\log x}{x^2}dx = [- \frac{\log x}{x}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} - \frac{1}{x^2} dx = - \frac{\log 3}{3} - 0 + \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} dx = - \frac{\log 3}{3} + \frac{2}{3}$

よって、

$\int_{1}^{3} \frac{1 - \log x}{x^2} dx = \frac{2}{3} - ( - \frac{\log 3}{3} + \frac{2}{3} ) = \frac{\log 3}{3}$

(3) $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$

部分積分を2回用います。

$u = (\log x)^2, dv = dx$とすると、$du = 2 \frac{\log x}{x} dx, v = x$なので、

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = [x (\log x)^2]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \log x dx = e - 2 \int_{1}^{e} \log x dx$

さらに部分積分を行います。

$u = \log x, dv = dx$とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = x$なので、

$\int_{1}^{e} \log x dx = [x \log x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 dx = e - 0 - [x]_{1}^{e} = e - (e-1) = 1$

よって、

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = e - 2(1) = e - 2$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} (\sin x + \cos x) dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \sin x dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \cos x dx$と分けます。

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \sin x dx$とすると、部分積分で

$I = [-e^{-x} \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \cos x dx = - e^{-\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \cos x dx$

よって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} (\sin x + \cos x) dx = - e^{-\frac{\pi}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \cos x dx$

$J = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \cos x dx$とすると、部分積分で

$J = [-e^{-x} \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \sin x dx = 1 - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} \sin x dx = 1 - I$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-x} (\sin x + \cos x) dx = - e^{-\frac{\pi}{2}} + 2 J = -e^{-\frac{\pi}{2}} + 2 (1 - I) = -e^{-\frac{\pi}{2}} + 2 - 2I = -e^{-\frac{\pi}{2}} + 2 - 2 (J + e^{-\frac{\pi}{2}}) = -e^{-\frac{\pi}{2}} + 2 - 2J -2e^{-\frac{\pi}{2}} = 2 - 3e^{-\frac{\pi}{2}} - 2J$

元の積分を$K$とすると、$K = I + J = J + J + e^{-\frac{\pi}{2}}$なので、$K = 2J+e^{-\frac{\pi}{2}}$

$K = 2-3e^{-\frac{\pi}{2}}-2J$より、$2K = 2-2e^{-\frac{\pi}{2}}$なので、$K = 1 - e^{-\frac{\pi}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $e - 2$

(2) $\frac{\log 3}{3}$

(3) $e - 2$

(4) $1 - e^{-\frac{\pi}{2}}$