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$\int \cos^2 t \sin t \, dt$ を計算する問題です。

解析学積分置換積分三角関数
2025/6/26

1. 問題の内容

∫cos⁡2tsin⁡t dt\int \cos^2 t \sin t \, dt を計算する問題です。

2. 解き方の手順

置換積分を用います。u=cos⁡tu = \cos t とおくと、du=−sin⁡t dtdu = -\sin t \, dt となります。したがって、
∫cos⁡2tsin⁡t dt=∫u2(−du)=−∫u2 du\int \cos^2 t \sin t \, dt = \int u^2 (-du) = -\int u^2 \, du
−∫u2 du=−u33+C-\int u^2 \, du = -\frac{u^3}{3} + C
uu を cos⁡t\cos t に戻すと、
−u33+C=−cos⁡3t3+C-\frac{u^3}{3} + C = -\frac{\cos^3 t}{3} + C

3. 最終的な答え

−cos⁡3t3+C-\frac{\cos^3 t}{3} + C

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