定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、部分積分法を試す前に、被積分関数の分子が分母の微分の定数倍になっているかどうかを確認します。

分母 $x^3 - 3x^2 + 1$ を $u$ とおくと、その微分は $du = (3x^2 - 6x)dx = 3(x^2 - 2x) dx$ となります。

したがって、

$x^2 - 2x = \frac{1}{3} (3x^2 - 6x)$

であるため、被積分関数は

$\frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} = \frac{1}{3} \frac{3x^2 - 6x}{x^3 - 3x^2 + 1}$

と書き換えることができます。

これにより、$u = x^3 - 3x^2 + 1$ と置換することで積分を実行できます。

$du = (3x^2 - 6x) dx$ であるから、積分は

$\int \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{3} \frac{du}{u} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln |u| + C = \frac{1}{3} \ln |x^3 - 3x^2 + 1| + C$

となります。

次に、定積分の範囲で評価します。

$x = 1$ のとき、$u = 1^3 - 3(1^2) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

$x = 2$ のとき、$u = 2^3 - 3(2^2) + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$

したがって、定積分は

$\int_{1}^{2} \frac{x^2 - 2x}{x^3 - 3x^2 + 1} dx = \left[ \frac{1}{3} \ln |x^3 - 3x^2 + 1| \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} \ln |2^3 - 3(2^2) + 1| - \frac{1}{3} \ln |1^3 - 3(1^2) + 1| = \frac{1}{3} \ln |-3| - \frac{1}{3} \ln |-1| = \frac{1}{3} \ln 3 - \frac{1}{3} \ln 1 = \frac{1}{3} \ln 3 - 0 = \frac{1}{3} \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln 3$