放物線 $y = x^2$ 上の点 $(-1, 1)$ と $(2, 4)$ におけるそれぞれの接線と、放物線 $y = x^2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上の点 $(-1, 1)$ と $(2, 4)$ におけるそれぞれの接線と、放物線 $y = x^2$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2$ の点 $(-1, 1)$ における接線を求める。

$y' = 2x$ より、点 $(-1, 1)$ における接線の傾きは $2(-1) = -2$。

よって、接線の方程式は $y - 1 = -2(x - (-1))$ 、つまり $y = -2x - 1$。

(2) 放物線 $y = x^2$ の点 $(2, 4)$ における接線を求める。

$y' = 2x$ より、点 $(2, 4)$ における接線の傾きは $2(2) = 4$。

よって、接線の方程式は $y - 4 = 4(x - 2)$ 、つまり $y = 4x - 4$。

(3) 2つの接線の交点を求める。

$-2x - 1 = 4x - 4$ より、$6x = 3$ 、つまり $x = \frac{1}{2}$。

このとき、$y = -2(\frac{1}{2}) - 1 = -2$。

よって、交点の座標は $(\frac{1}{2}, -2)$。

(4) 求める面積 $S$ を積分を用いて計算する。

面積 $S$ は、放物線と2つの接線で囲まれた図形なので、積分区間を $-1 \le x \le \frac{1}{2}$ と $\frac{1}{2} \le x \le 2$ に分けて計算します。

$S = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (x^2 - (-2x - 1)) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x^2 - (4x - 4)) dx$

$S = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 1) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx$

$S = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} (x+1)^2 dx + \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x-2)^2 dx$

$S = [\frac{1}{3}(x+1)^3]_{-1}^{\frac{1}{2}} + [\frac{1}{3}(x-2)^3]_{\frac{1}{2}}^{2}$

$S = \frac{1}{3} (\frac{3}{2})^3 - \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{3}(-\frac{3}{2})^3$

$S = \frac{1}{3} (\frac{27}{8}) + \frac{1}{3} (\frac{27}{8})$

$S = \frac{27}{24} + \frac{27}{24} = \frac{54}{24} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{4}$