次の数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (1) $\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \dots$ (2) $\frac{2}{1 \cdot 3}, \frac{2}{3 \cdot 5}, \frac{2}{5 \cdot 7}, \dots$ (3) $\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \dots$ (4) $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

(1) $\frac{1}{1 \cdot 3}, \frac{1}{3 \cdot 5}, \frac{1}{5 \cdot 7}, \dots$

(2) $\frac{2}{1 \cdot 3}, \frac{2}{3 \cdot 5}, \frac{2}{5 \cdot 7}, \dots$

(3) $\frac{1}{2 \cdot 4}, \frac{1}{4 \cdot 6}, \frac{1}{6 \cdot 8}, \dots$

(4) $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 一般項を $a_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ と表せます。

部分分数分解すると、

$a_k = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

したがって、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}$

(2) 一般項を $a_k = \frac{2}{(2k-1)(2k+1)}$ と表せます。

部分分数分解すると、

$a_k = \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

したがって、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$= 1 - \frac{1}{2n+1} = \frac{2n+1-1}{2n+1} = \frac{2n}{2n+1}$

(3) 一般項を $a_k = \frac{1}{2k(2k+2)}$ と表せます。

$a_k = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

$= \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right]$

$= \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{n+1-1}{n+1} \right) = \frac{n}{4(n+1)}$

(4) 一般項を $a_k = \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}}$ と表せます。

分母の有理化をすると、

$a_k = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{k+1-k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

$= (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

$= \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{n}{2n+1}$

(2) $S_n = \frac{2n}{2n+1}$

(3) $S_n = \frac{n}{4(n+1)}$

(4) $S_n = \sqrt{n+1} - 1$