次の3つの関数の極値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 4|x| + 5$ (2) $y = |x|\sqrt{3-x}$ (3) $y = \sqrt[5]{x^2}$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

次の3つの関数の極値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 4|x| + 5$

(2) $y = |x|\sqrt{3-x}$

(3) $y = \sqrt[5]{x^2}$

2. 解き方の手順

**(1) $y = x^2 - 4|x| + 5$**

絶対値を含む関数なので、$x$ の範囲によって場合分けをします。

(i) $x \ge 0$ のとき、 $|x| = x$ なので、

$y = x^2 - 4x + 5$

平方完成すると、

$y = (x - 2)^2 + 1$

この範囲では、$x = 2$ で極小値 1 をとります。また、$x=0$の時、$y=5$となります。

(ii) $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ なので、

$y = x^2 + 4x + 5$

平方完成すると、

$y = (x + 2)^2 + 1$

この範囲では、$x = -2$ で極小値 1 をとります。

したがって、$x = 2, -2$ で極小値 1 をとり、$x=0$ で極大値5をとります。

**(2) $y = |x|\sqrt{3-x}$**

この関数は $3-x \ge 0$ 、つまり $x \le 3$ で定義されます。

さらに場合分けをします。

(i) $0 \le x \le 3$ のとき、$|x| = x$ なので、

$y = x\sqrt{3-x}$

$y^2 = x^2(3-x) = 3x^2 - x^3$

$y^2$を$x$で微分すると、

$2yy' = 6x - 3x^2 = 3x(2-x)$

よって、$y'=0$となるのは$x=0$または$x=2$の時です。

$x=0$の時、$y=0$

$x=2$の時、$y=2\sqrt{3-2}=2$

(ii) $x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、

$y = -x\sqrt{3-x}$

このとき、$y \ge 0$

$y'=0$となる場合、$x=0$はすでに調べているので、$x<0$の範囲を調べます。

$y' = -\sqrt{3-x} -x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = -\sqrt{3-x} + \frac{x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{-2(3-x)+x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{3x-6}{2\sqrt{3-x}}$

$y'=0$となるのは、$3x-6=0$すなわち$x=2$の時ですが、$x<0$を満たさないので不適です。

$x=-1$の時、$y = \sqrt{4} = 2 >0$

$x=0$の時、$y=0$

$x=2$の時、$y=2$

$x=3$の時、$y=0$

増減表を書くと、$x=2$の時、極大値2をとることがわかります。

$x=0$と$x=3$の時、極小値0をとります。

**(3) $y = \sqrt[5]{x^2} = x^{\frac{2}{5}}$**

$y' = \frac{2}{5}x^{\frac{2}{5}-1} = \frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}}$

$x=0$で微分不可能なので、そこが極値候補です。

$x < 0$ のとき、$y' < 0$ であり、$x > 0$ のとき、$y' > 0$ なので、$x=0$ で極小値 0 をとります。

極大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 2$ で極小値 1, $x=0$で極大値 5

(2) $x=0$ , $x=3$で極小値 0, $x=2$ で極大値 2

(3) $x = 0$ で極小値 0, 極大値なし