直線 $y = 2x$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の、$1 \le x \le 2$ の範囲における体積を求めます。

## 問題3 (1)

1. 問題の内容

直線 $y = 2x$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の、$1 \le x \le 2$ の範囲における体積を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を使って計算できます。$x$ 軸周りの回転体の体積 $V$ は、以下の式で与えられます。

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

ここで、$f(x)$ は回転させる関数の式、$a$ と $b$ は積分の範囲です。

今回の問題では、$f(x) = 2x$, $a = 1$, $b = 2$ なので、体積 $V$ は次のようになります。

$V = \pi \int_{1}^{2} (2x)^2 dx$

$V = \pi \int_{1}^{2} 4x^2 dx$

$V = 4\pi \int_{1}^{2} x^2 dx$

$V = 4\pi [\frac{1}{3}x^3]_{1}^{2}$

$V = 4\pi (\frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{3}(1^3))$

$V = 4\pi (\frac{8}{3} - \frac{1}{3})$

$V = 4\pi (\frac{7}{3})$

$V = \frac{28\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{28\pi}{3}$

## 問題3 (2)

1. 問題の内容

直線 $y = x + 1$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の、$0 \le x \le 1$ の範囲における体積を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を使って計算できます。$x$ 軸周りの回転体の体積 $V$ は、以下の式で与えられます。

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

ここで、$f(x)$ は回転させる関数の式、$a$ と $b$ は積分の範囲です。

今回の問題では、$f(x) = x + 1$, $a = 0$, $b = 1$ なので、体積 $V$ は次のようになります。

$V = \pi \int_{0}^{1} (x+1)^2 dx$

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 2x + 1) dx$

$V = \pi [\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x]_{0}^{1}$

$V = \pi (\frac{1}{3}(1^3) + (1^2) + (1) - (\frac{1}{3}(0^3) + (0^2) + (0)))$

$V = \pi (\frac{1}{3} + 1 + 1)$

$V = \pi (\frac{1}{3} + 2)$

$V = \pi (\frac{7}{3})$

$V = \frac{7\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\pi}{3}$

## 問題4 (1)

1. 問題の内容

曲線 $y = e^{-x}$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の、$0 \le x \le 1$ の範囲における体積を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を使って計算できます。$x$ 軸周りの回転体の体積 $V$ は、以下の式で与えられます。

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

ここで、$f(x)$ は回転させる関数の式、$a$ と $b$ は積分の範囲です。

今回の問題では、$f(x) = e^{-x}$, $a = 0$, $b = 1$ なので、体積 $V$ は次のようになります。

$V = \pi \int_{0}^{1} (e^{-x})^2 dx$

$V = \pi \int_{0}^{1} e^{-2x} dx$

$V = \pi [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_{0}^{1}$

$V = \pi (-\frac{1}{2}e^{-2(1)} - (-\frac{1}{2}e^{-2(0)}))$

$V = \pi (-\frac{1}{2}e^{-2} + \frac{1}{2})$

$V = \frac{\pi}{2} (1 - e^{-2})$

$V = \frac{\pi}{2} (1 - \frac{1}{e^2})$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}(1 - \frac{1}{e^2})$

## 問題4 (2)

1. 問題の内容

直線 $y = \cos x$ を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲における体積を求めます。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を使って計算できます。$x$ 軸周りの回転体の体積 $V$ は、以下の式で与えられます。

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

ここで、$f(x)$ は回転させる関数の式、$a$ と $b$ は積分の範囲です。

今回の問題では、$f(x) = \cos x$, $a = 0$, $b = \frac{\pi}{2}$ なので、体積 $V$ は次のようになります。

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x)^2 dx$

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いて積分を計算します。

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx$

$V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx$

$V = \frac{\pi}{2} [x + \frac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \frac{\pi}{2} ((\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0)))$

$V = \frac{\pi}{2} (\frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0)$

$V = \frac{\pi}{2} (\frac{\pi}{2})$

$V = \frac{\pi^2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{4}$

## 問題5

1. 問題の内容

曲線 $x = e^t \cos t$, $y = e^t \sin t$ ($0 \le t \le 1$) の長さを求めます。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、以下の式で与えられます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t \cos t) = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t (\cos t - \sin t)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^t \sin t) = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t (\sin t + \cos t)$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 = (e^t (\cos t - \sin t))^2 = e^{2t} (\cos^2 t - 2\cos t \sin t + \sin^2 t)$

$(\frac{dy}{dt})^2 = (e^t (\sin t + \cos t))^2 = e^{2t} (\sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t)$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = e^{2t} (\cos^2 t - 2\cos t \sin t + \sin^2 t) + e^{2t} (\sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t)$

$= e^{2t} (2\cos^2 t + 2\sin^2 t) = e^{2t} (2(\cos^2 t + \sin^2 t)) = 2e^{2t}$

したがって、曲線の長さ $L$ は次のようになります。

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{2e^{2t}} dt$

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{2}e^{t} dt$

$L = \sqrt{2} \int_{0}^{1} e^{t} dt$

$L = \sqrt{2} [e^t]_{0}^{1}$

$L = \sqrt{2} (e^1 - e^0)$

$L = \sqrt{2} (e - 1)$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}(e - 1)$