放物線 $y = x^2$ 上の点 $(-1, 1)$ と $(2, 4)$ におけるそれぞれの接線とこの放物線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上の点 $(-1, 1)$ と $(2, 4)$ におけるそれぞれの接線とこの放物線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの点における接線の方程式を求めます。

$y = x^2$ を微分すると、$y' = 2x$ となります。

点 $(-1, 1)$ における接線の傾きは、$y'(-1) = 2(-1) = -2$ なので、接線の方程式は、

$y - 1 = -2(x - (-1))$

$y - 1 = -2x - 2$

$y = -2x - 1$

点 $(2, 4)$ における接線の傾きは、$y'(2) = 2(2) = 4$ なので、接線の方程式は、

$y - 4 = 4(x - 2)$

$y - 4 = 4x - 8$

$y = 4x - 4$

次に、2つの接線の交点の座標を求めます。

$-2x - 1 = 4x - 4$

$6x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

$y = -2(\frac{1}{2}) - 1 = -1 - 1 = -2$

したがって、2つの接線の交点の座標は $(\frac{1}{2}, -2)$ です。

求める面積 $S$ は、放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積なので、積分を使って求めます。

$S = \int_{-1}^{1/2} (x^2 - (-2x - 1))dx + \int_{1/2}^{2} (x^2 - (4x - 4)) dx$

$S = \int_{-1}^{1/2} (x^2 + 2x + 1)dx + \int_{1/2}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx$

$S = \int_{-1}^{1/2} (x+1)^2dx + \int_{1/2}^{2} (x-2)^2 dx$

$S = [\frac{1}{3}(x+1)^3]_{-1}^{1/2} + [\frac{1}{3}(x-2)^3]_{1/2}^{2}$

$S = \frac{1}{3}[(\frac{3}{2})^3 - 0] + \frac{1}{3}[0 - (-\frac{3}{2})^3]$

$S = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} + \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8}$

$S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{4}$