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$xy$平面上の曲線$C$が、$x=2\cos2\theta$, $y=2\cos3\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$)で与えられている。 (1) $t=\cos\theta$とおいて、$x$と$y$を$t$の式で表す。 (2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$において、$y$を$x$の式で表す。また、$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$において、$y$を$x$の式で表す。 (3) 曲線$C$の概形を描く。

解析学パラメータ表示曲線三角関数グラフ
2025/6/26

1. 問題の内容

xyxy平面上の曲線CCが、x=2cos⁡2θx=2\cos2\theta, y=2cos⁡3θy=2\cos3\theta (0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi)で与えられている。
(1) t=cos⁡θt=\cos\thetaとおいて、xxとyyをttの式で表す。
(2) 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}において、yyをxxの式で表す。また、π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \piにおいて、yyをxxの式で表す。
(3) 曲線CCの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) xxとyyをt=cos⁡θt=\cos\thetaで表す。
x=2cos⁡2θ=2(2cos⁡2θ−1)=4cos⁡2θ−2=4t2−2x = 2\cos2\theta = 2(2\cos^2\theta - 1) = 4\cos^2\theta - 2 = 4t^2 - 2
y=2cos⁡3θ=2(4cos⁡3θ−3cos⁡θ)=8cos⁡3θ−6cos⁡θ=8t3−6ty = 2\cos3\theta = 2(4\cos^3\theta - 3\cos\theta) = 8\cos^3\theta - 6\cos\theta = 8t^3 - 6t
(2) 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}のとき、cos⁡θ\cos\thetaは11から00に単調減少するので、1≥t≥01 \ge t \ge 0である。x=4t2−2x = 4t^2 - 2より、t2=x+24t^2 = \frac{x+2}{4}。よって、t=x+24=x+22t = \sqrt{\frac{x+2}{4}} = \frac{\sqrt{x+2}}{2}。
y=8t3−6t=8(x+22)3−6(x+22)=8(x+2)x+28−3x+2=(x+2)x+2−3x+2=(x−1)x+2y = 8t^3 - 6t = 8\left(\frac{\sqrt{x+2}}{2}\right)^3 - 6\left(\frac{\sqrt{x+2}}{2}\right) = 8\frac{(x+2)\sqrt{x+2}}{8} - 3\sqrt{x+2} = (x+2)\sqrt{x+2} - 3\sqrt{x+2} = (x-1)\sqrt{x+2}
π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \piのとき、cos⁡θ\cos\thetaは00から−1-1に単調減少するので、0≥t≥−10 \ge t \ge -1である。x=4t2−2x = 4t^2 - 2より、t2=x+24t^2 = \frac{x+2}{4}。よって、t=−x+24=−x+22t = -\sqrt{\frac{x+2}{4}} = -\frac{\sqrt{x+2}}{2}。
y=8t3−6t=8(−x+22)3−6(−x+22)=−8(x+2)x+28+3x+2=−(x+2)x+2+3x+2=−(x−1)x+2y = 8t^3 - 6t = 8\left(-\frac{\sqrt{x+2}}{2}\right)^3 - 6\left(-\frac{\sqrt{x+2}}{2}\right) = -8\frac{(x+2)\sqrt{x+2}}{8} + 3\sqrt{x+2} = -(x+2)\sqrt{x+2} + 3\sqrt{x+2} = -(x-1)\sqrt{x+2}
(3) 曲線CCの概形を描く。
θ\thetaが00からπ\piまで変化するとき、t=cos⁡θt=\cos\thetaは11から−1-1まで変化する。
x=4t2−2x = 4t^2 - 2は、t=0t=0で最小値−2-2をとり、t=1,−1t=1, -1で最大値22をとる。−2≤x≤2-2 \le x \le 2
y=8t3−6ty = 8t^3 - 6tは、y′=24t2−6=6(4t2−1)y' = 24t^2 - 6 = 6(4t^2 - 1)より、t=±12t = \pm \frac{1}{2}で極値をとる。
t=12t = \frac{1}{2}のとき、y=8(18)−6(12)=1−3=−2y = 8(\frac{1}{8}) - 6(\frac{1}{2}) = 1 - 3 = -2
t=−12t = -\frac{1}{2}のとき、y=8(−18)−6(−12)=−1+3=2y = 8(-\frac{1}{8}) - 6(-\frac{1}{2}) = -1 + 3 = 2
t=1t=1のとき、x=2x=2, y=2y=2
t=−1t=-1のとき、x=2x=2, y=−2y=-2
t=0t=0のとき、x=−2x=-2, y=0y=0

3. 最終的な答え

(1) x=4t2−2x = 4t^2 - 2, y=8t3−6ty = 8t^3 - 6t
(2) 0≤θ≤π20 \le \theta \le \frac{\pi}{2}のとき、y=(x−1)x+2y = (x-1)\sqrt{x+2}。
π2≤θ≤π\frac{\pi}{2} \le \theta \le \piのとき、y=−(x−1)x+2y = -(x-1)\sqrt{x+2}。
(3) 曲線CCの概形は省略 (グラフを描画してください)

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