与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1}$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているため、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理とは、$x \to a$ で $f(x) \to 0$ かつ $g(x) \to 0$ のとき、または $f(x) \to \pm \infty$ かつ $g(x) \to \pm \infty$ のとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

$f(x) = \log x$ と $g(x) = x-1$ とすると、

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$g'(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

$x \to 1$ のとき、$\frac{1}{x} \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1} = 1$