10人を対象として、以下の3つの場合の数を求める問題です。 (1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法。ただし、全員が同じ部屋に入ってもよい。 (2) 10人を2つの組A, Bに分ける方法。 (3) 10人を2つの組に分ける方法。

1. 問題の内容

10人を対象として、以下の3つの場合の数を求める問題です。

(1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法。ただし、全員が同じ部屋に入ってもよい。

(2) 10人を2つの組A, Bに分ける方法。

(3) 10人を2つの組に分ける方法。

2. 解き方の手順

(1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法：

各人は部屋Aまたは部屋Bのどちらかに入るので、各人の部屋の入り方は2通りあります。10人それぞれについて2通りの選択肢があるので、全部で $2^{10}$ 通りの分け方があります。

$2^{10} = 1024$

(2) 10人を2つの組A, Bに分ける方法：

各人を組Aまたは組Bのどちらかに割り当てるので、これも各人について2通りの選択肢があり、合計で$2^{10} = 1024$通りの分け方があります。ただし、全員が同じ組に入る場合（全員がA, 全員がB）は、どちらの組にも人がいない状態になるため、これら2つの場合を除きます。したがって、$1024 - 2 = 1022$通りとなります。

$2^{10} - 2 = 1024 - 2 = 1022$

(3) 10人を2つの組に分ける方法：

これは組A, Bの区別がないため、(2)の場合の数を2で割る必要がありますが、片方の組に誰もいない場合（全員が片方の組に入る場合）を除く必要があります。

(2)よりAとBを区別した場合は1022通りですが、AとBの区別をなくすには、$1022/2$では正しい答えにはなりません。

まず、(2)でAとBを区別した場合を考えます。そのうち、Aに$k$人、Bに$10-k$人いる場合と、Aに$10-k$人、Bに$k$人いる場合は、AとBの区別をなくせば同じ分け方とみなせるので、これらの場合の数は同じです。

$2^{10} - 2 = 1022$通りから、AとBを区別するのをやめると、2つの組ができる分け方は、$1022/2 = 511$通りとなります。

$\frac{2^{10}-2}{2} = \frac{1024-2}{2} = \frac{1022}{2} = 511$

3. 最終的な答え

(1) 1024通り

(2) 1022通り

(3) 511通り