図のような道がある町で、A地点からB地点まで以下の条件で最短経路は何通りあるかを求める問題です。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

図のような道がある町で、A地点からB地点まで以下の条件で最短経路は何通りあるかを求める問題です。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまでの最短経路の総数を求めます。右に4回、上に3回移動する必要があります。したがって、7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数が経路の総数となります。これは、組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

(2) AからCまでの最短経路の総数と、CからBまでの最短経路の総数をそれぞれ求め、それらの積を計算します。AからCへは右に2回、上に1回移動する必要があり、CからBへは右に2回、上に2回移動する必要があります。それぞれの組み合わせの数を計算し、掛け合わせます。

(3) AからBまでの最短経路の総数から、AからCを通ってBまで行く経路の総数を引くことで、AからCを通らずにBまで行く経路の総数を求めます。

(1) AからBまでの最短経路の総数：

${}_7C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) AからCを通ってBまでの最短経路の総数：

AからCまでの最短経路の総数：${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$

CからBまでの最短経路の総数：${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

AからCを通ってBまでの最短経路の総数：$3 \times 6 = 18$

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路の総数：

AからBまでの最短経路の総数から、AからCを通ってBまで行く経路の総数を引きます。

$35 - 18 = 17$

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く経路は35通り。

(2) AからCを通ってBまで行く経路は18通り。

(3) AからCを通らずにBまで行く経路は17通り。