9人を指定された人数で組分けする方法の数を求める問題です。 (1) 3人ずつA, B, Cの3組に分ける。 (2) 3人ずつ3組に分ける。 (3) 4人, 3人, 2人の3組に分ける。 (4) 5人, 2人, 2人の3組に分ける。

1. 問題の内容

9人を指定された人数で組分けする方法の数を求める問題です。

(1) 3人ずつA, B, Cの3組に分ける。

(2) 3人ずつ3組に分ける。

(3) 4人, 3人, 2人の3組に分ける。

(4) 5人, 2人, 2人の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの区別がある場合

まず、9人からAの組の3人を選ぶ組み合わせは $_9C_3$ 通りです。

次に、残りの6人からBの組の3人を選ぶ組み合わせは $_6C_3$ 通りです。

最後に、残りの3人からCの組の3人を選ぶ組み合わせは $_3C_3$ 通りです。

したがって、求める場合の数は

$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{216} = 1680$ 通りです。

(2) 組に区別がない場合

(1)と同様に3人ずつ3組に分ける場合の数は $\frac{9!}{3!3!3!}$ 通りですが、3組に区別がないため、3!で割る必要があります。

したがって、$\frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{1680}{6} = 280$ 通りです。

(3) 4人、3人、2人の組に分ける場合

9人から4人の組を選ぶ組み合わせは $_9C_4$ 通りです。

残りの5人から3人の組を選ぶ組み合わせは $_5C_3$ 通りです。

残りの2人から2人の組を選ぶ組み合わせは $_2C_2$ 通りです。

したがって、求める場合の数は

$_9C_4 \times _5C_3 \times _2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!} = \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260$ 通りです。

(4) 5人、2人、2人の組に分ける場合

9人から5人の組を選ぶ組み合わせは $_9C_5$ 通りです。

残りの4人から2人の組を選ぶ組み合わせは $_4C_2$ 通りです。

残りの2人から2人の組を選ぶ組み合わせは $_2C_2$ 通りです。

ただし、2人の組に区別がないため、2!で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は

$\frac{_9C_5 \times _4C_2 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!2!2!}}{2!} = \frac{126 \times 6 \times 1}{2} = \frac{756}{2} = 378$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1680通り

(2) 280通り

(3) 1260通り

(4) 378通り