与えられた命題 $\neg \neg \neg(\forall x \in \mathbb{N} (\exists y \in \mathbb{N} (x+y > 10)))$ と同値な命題を選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

与えられた命題 $\neg \neg \neg(\forall x \in \mathbb{N} (\exists y \in \mathbb{N} (x+y > 10)))$ と同値な命題を選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を簡略化します。

ステップ1: 3つの否定 $(\neg)$ を1つにまとめます。

$\neg \neg \neg P \equiv \neg P$ であるため、与えられた命題は $\neg(\forall x \in \mathbb{N} (\exists y \in \mathbb{N} (x+y > 10)))$ と同値です。

ステップ2: 全称記号 $(\forall)$ と存在記号 $(\exists)$ の否定を適用します。

$\neg(\forall x P(x)) \equiv \exists x \neg P(x)$ および $\neg(\exists x P(x)) \equiv \forall x \neg P(x)$ という規則を使います。

$\neg(\forall x \in \mathbb{N} (\exists y \in \mathbb{N} (x+y > 10))) \equiv \exists x \in \mathbb{N} (\neg(\exists y \in \mathbb{N} (x+y > 10)))$ となります。

ステップ3: さらに存在記号 $(\exists)$ の否定を適用します。

$\exists x \in \mathbb{N} (\neg(\exists y \in \mathbb{N} (x+y > 10))) \equiv \exists x \in \mathbb{N} (\forall y \in \mathbb{N} (\neg(x+y > 10)))$ となります。

ステップ4: 不等号の否定を適用します。

$\exists x \in \mathbb{N} (\forall y \in \mathbb{N} (\neg(x+y > 10))) \equiv \exists x \in \mathbb{N} (\forall y \in \mathbb{N} (x+y \leq 10))$ となります。

ステップ5: 選択肢と比較します。

ステップ4で得られた命題は選択肢2と一致します。

3. 最終的な答え

選択肢2: $\exists x \in \mathbb{N} \forall y \in \mathbb{N} (x+y \leq 10)$