正五角柱の7つの面を、赤、青、黄、緑、黒、紫の6色を使って塗り分ける。隣り合う面は異なる色を塗る。2つの五角形（底面）が同じ色であるような塗り方の数と、正五角柱の塗り方の総数を求める問題。回転して同じになるものは同じ塗り方とみなす。

1. 問題の内容

正五角柱の7つの面を、赤、青、黄、緑、黒、紫の6色を使って塗り分ける。隣り合う面は異なる色を塗る。2つの五角形（底面）が同じ色であるような塗り方の数と、正五角柱の塗り方の総数を求める問題。回転して同じになるものは同じ塗り方とみなす。

2. 解き方の手順

まず、2つの底面を同じ色で塗る場合の数を考える。

底面の色を決めると、側面の塗り方は決まる。

(1) 2つの底面を同じ色で塗る場合

・底面の色を決める。6色から1色選ぶので、6通り。

・側面の5つの面は、残りの5色を円順列に並べる。円順列の公式は $(n-1)!$ なので、$(5-1)!=4!=4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

・したがって、2つの底面が同じ色の場合の数は、 $6 \times 24 = 144$ 通り。

(2) 正五角柱の塗り方の総数

・まず、1つの底面を塗る。6通りの色がある。

・もう一方の底面は、残りの5色から1色を選ぶので、5通り。

・側面の5つの面は、残りの4色を並べる。しかし、隣り合う面は異なる色で塗らなければならないので、まず5つの面にそれぞれ異なる色を塗ることを考える。4色すべてを使うことは問題文に明記されていないため、注意が必要です。

ここは計算が難しいので、一旦、5つの側面の色の並び方を $x$通りと置くと、全体の塗り方の総数は $6 \times 5 \times x = 30x$ と表せる。

実際には、側面の色の塗り方を求めるのが非常に難しいので、問題文に「2つの五角形の面を同じ色で塗るような」とあることから、正五角柱の塗り方の総数は単純な組み合わせや順列では求められないことが予想される。

(1)から2つの底面が同じ色であるような正五角柱の塗り方は144通りである。

3. 最終的な答え

ア: 144

イ: （計算困難）