全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A = \{1, 4, 5\}$ と $B = \{2, 6, 7\}$ について、以下の個数を求める。 (1) $n(A \cap B)$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{A \cap B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A = \{1, 4, 5\}$ と $B = \{2, 6, 7\}$ について、以下の個数を求める。

(1) $n(A \cap B)$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合Aと集合Bの両方に含まれる要素の集合である。集合Aと集合Bの要素を比較すると、共通の要素はない。したがって、$A \cap B = \emptyset$ である。

$n(A \cap B)$ は、$A \cap B$ の要素の個数なので、

$n(A \cap B) = 0$ となる。

(2) $A \cup B$ は、集合Aと集合Bの少なくとも一方に含まれる要素の集合である。集合Aと集合Bの要素をすべて集めると、$\{1, 2, 4, 5, 6, 7\}$ となる。

$n(A \cup B)$ は、$A \cup B$ の要素の個数なので、

$n(A \cup B) = 6$ となる。

(3) $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$ の補集合であり、全体集合Uの中で $A \cap B$ に含まれない要素の集合である。

(1)より、$A \cap B = \emptyset$ であるから、$\overline{A \cap B} = U$ となる。

したがって、$n(\overline{A \cap B}) = n(U) = 7$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 0$

(2) $n(A \cup B) = 6$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 7$