全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A = \{1, 4, 5\}$、 $B = \{2, 6, 7\}$ について、以下の集合の要素の個数を求めます。 (1) $A \cap B$ の要素の個数 (2) $A \cup B$ の要素の個数 (3) $\overline{A} \cap B$ の要素の個数

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A = \{1, 4, 5\}$、 $B = \{2, 6, 7\}$ について、以下の集合の要素の個数を求めます。

(1) $A \cap B$ の要素の個数

(2) $A \cup B$ の要素の個数

(3) $\overline{A} \cap B$ の要素の個数

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 A と集合 B の共通部分です。つまり、A にも B にも含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 4, 5\}$、 $B = \{2, 6, 7\}$ なので、$A \cap B$ は空集合となり、要素は一つもありません。したがって、$n(A \cap B) = 0$。

(2) $A \cup B$ は、集合 A と集合 B の和集合です。つまり、A または B に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 4, 5\}$、 $B = \{2, 6, 7\}$ なので、$A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6, 7\}$ となります。したがって、$n(A \cup B) = 6$。

(3) $\overline{A}$ は、A の補集合です。つまり、全体集合 U の中で A に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$、 $A = \{1, 4, 5\}$ なので、$\overline{A} = \{2, 3, 6, 7\}$ となります。

$\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と B の共通部分です。つまり、$\overline{A}$ にも B にも含まれる要素の集合です。

$\overline{A} = \{2, 3, 6, 7\}$、 $B = \{2, 6, 7\}$ なので、$\overline{A} \cap B = \{2, 6, 7\}$ となります。したがって、$n(\overline{A} \cap B) = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 0$

(2) $n(A \cup B) = 6$

(3) $n(\overline{A} \cap B) = 3$