議長1名、書記1名、委員6名の計8名が円形のテーブルに着席するとき、次の並び方は何通りあるか。 (1) 議長、書記が真正面に向かい合う。 (2) 議長、書記が隣り合わない。

1. 問題の内容

議長1名、書記1名、委員6名の計8名が円形のテーブルに着席するとき、次の並び方は何通りあるか。

(1) 議長、書記が真正面に向かい合う。

(2) 議長、書記が隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 議長と書記が真正面に向かい合う場合

まず、議長の位置を固定する。円卓なので、誰か一人の位置を固定することで、回転による重複を避けることができる。

次に、書記は議長の真正面に座るので、その位置も決まる。

残りの6人の委員は、残りの6席に自由に座ることができる。

したがって、6人の委員の並び方は $6!$ 通りである。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(2) 議長と書記が隣り合わない場合

まず、8人が円卓に座る総数を計算する。1人の位置を固定し、残りの7人の並び方を考えると、$(8-1)! = 7!$ 通り。

$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

次に、議長と書記が隣り合う場合を考える。議長と書記をまとめて1つのペアとみなし、そのペアを固定して、残りの6人の委員と合わせて7つのものを円卓に並べる。これは $(7-1)! = 6!$ 通り。

さらに、議長と書記のペアの中で、議長が右にいるか左にいるかの2通りの並び方がある。

したがって、議長と書記が隣り合う並び方は $6! \times 2 = 720 \times 2 = 1440$ 通り。

議長と書記が隣り合わない並び方は、総数から隣り合う場合を引けば良い。

$7! - 6! \times 2 = 5040 - 1440 = 3600$

3. 最終的な答え

(1) 議長、書記が真正面に向かい合う場合：720通り

(2) 議長、書記が隣り合わない場合：3600通り