全体集合 $U = \{x | xは0 \le x \le 10を満たす整数\}$ の部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 6, 7\}$, $A \cap B = \{4\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 5, 10\}$ であるとき、$A$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | xは0 \le x \le 10を満たす整数\}$ の部分集合 $A, B$ について、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 6, 7\}$, $A \cap B = \{4\}$, $\overline{A} \cap B = \{2, 5, 10\}$ であるとき、$A$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を具体的に書き出すと、

$U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

与えられた条件から、それぞれの集合に属する要素を考えていく。

* $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 3, 6, 7\}$ は、$A$ にも $B$ にも属さない要素の集合である。

* $A \cap B = \{4\}$ は、$A$ と $B$ の両方に属する要素の集合である。

* $\overline{A} \cap B = \{2, 5, 10\}$ は、$A$ には属さないが $B$ に属する要素の集合である。

これらの情報から、$A$ に属する要素は $A \cap B$ の要素と $A \cap \overline{B}$ の要素である。

$U$ から $\overline{A} \cap \overline{B}$, $A \cap B$, $\overline{A} \cap B$ の要素を除いたものが $A \cap \overline{B}$ である。

$A \cap \overline{B} = U - (\overline{A} \cap \overline{B}) - (A \cap B) - (\overline{A} \cap B)$

$A \cap \overline{B} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{1, 3, 6, 7\} - \{4\} - \{2, 5, 10\} = \{0, 8, 9\}$

したがって、$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{4\} \cup \{0, 8, 9\} = \{0, 4, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

$A = \{0, 4, 8, 9\}$