異なる6個の玉を、指定された条件で組に分ける場合の数を求める問題です。 (1) 3個、2個、1個の3組に分ける (2) 2個ずつの3組に分ける (3) A, Bの2組に分ける (0個の組があってもよい) (4) 2組に分ける (0個の組はない) (5) 3組に分ける (0個の組はない)

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

異なる6個の玉を、指定された条件で組に分ける場合の数を求める問題です。

(1) 3個、2個、1個の3組に分ける

(2) 2個ずつの3組に分ける

(3) A, Bの2組に分ける (0個の組があってもよい)

(4) 2組に分ける (0個の組はない)

(5) 3組に分ける (0個の組はない)

2. 解き方の手順

(1) 3個、2個、1個の3組に分ける場合

まず、6個から3個を選ぶ組み合わせは $_6C_3$ 通り。

次に、残りの3個から2個を選ぶ組み合わせは $_3C_2$ 通り。

最後に、残りの1個は自動的に1組になるので $_1C_1 = 1$ 通り。

したがって、

$_6C_3 \times _3C_2 \times _1C_1 = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times 1 = 20 \times 3 \times 1 = 60$ 通り。

(2) 2個ずつの3組に分ける場合

まず、6個から2個を選ぶ組み合わせは $_6C_2$ 通り。

次に、残りの4個から2個を選ぶ組み合わせは $_4C_2$ 通り。

最後に、残りの2個は自動的に1組になるので $_2C_2 = 1$ 通り。

ただし、2個ずつの組には区別がないので、3!で割る必要がある。

したがって、

$\frac{_6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{3!} = \frac{\frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{3!} = \frac{15 \times 6 \times 1}{6} = 15$ 通り。

(3) A, Bの2組に分ける (0個の組があってもよい)

各玉について、AかBのどちらに入れるかの2通りがある。

したがって、$2^6 = 64$ 通り。

(4) 2組に分ける (0個の組はない)

全体の場合の数は (3) より $2^6 = 64$ 通り。

ここから、Aのみ、Bのみの場合を除く。

Aのみの場合は1通り、Bのみの場合も1通りなので、

$64 - 2 = 62$ 通り。

ただし、A, B の区別がないので、2で割る必要がある。

$\frac{62}{2} = 31$ 通り。

(5) 3組に分ける (0個の組はない)

これは少し複雑なので、包除原理を用いるのが良いでしょう。

まず、各玉を3つの組のいずれかに入れる方法を考えます。

各玉に対して3通りの選択肢があるので、$3^6 = 729$ 通り。

ここから、空の組ができる場合を除きます。

1つの組が空になる場合：

空になる組の選び方は $_3C_1 = 3$ 通り。

残りの2つの組に玉を入れる方法は $2^6 = 64$ 通り。

ただし、この中には2つの組のうち片方だけが使われる場合(つまり2組が空になる場合)が2通り含まれているので、これを除くと $64 - 2 = 62$ 通り。

したがって、$3 \times (2^6 - 2) = 3 \times 62 = 186$ 通り。

2つの組が空になる場合：

空になる組の選び方は $_3C_2 = 3$ 通り。

残りの1つの組に全ての玉を入れる方法は $1^6 = 1$ 通り。

したがって、$3 \times 1 = 3$ 通り。

包除原理より、

$3^6 -$ (1つの組が空になる場合) + (2つの組が空になる場合)

$= 729 - 186 + 3 = 546$ 通り。

3つの組に区別がないので、$3! = 6$ で割る。

$\frac{546}{6} = 91$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 15通り

(3) 64通り

(4) 31通り

(5) 91通り