以下の4つの命題の真偽を判定する問題です。 1. $\forall x (x = x)$

1. 問題の内容

以下の4つの命題の真偽を判定する問題です。

1. $\forall x (x = x)$

2. $\exists x (x = 1)$

3. $\forall x (x \in \mathbb{N} \rightarrow x \in \mathbb{Z})$

4. $\exists x (x \in \mathbb{N} \land x^2 = 101)$

2. 解き方の手順

1. $\forall x (x = x)$:

すべての$x$について、$x = x$が成り立つかどうかを判定します。これは恒等式であり、常に真です。

2. $\exists x (x = 1)$:

$x = 1$となる$x$が存在するかどうかを判定します。$x = 1$は明らかに存在するので、この命題は真です。

3. $\forall x (x \in \mathbb{N} \rightarrow x \in \mathbb{Z})$:

すべての自然数$x$について、$x$が整数であるかどうかを判定します。自然数$\mathbb{N}$は整数の部分集合$\mathbb{Z}$に含まれるので、この命題は真です。

4. $\exists x (x \in \mathbb{N} \land x^2 = 101)$:

自然数$x$で、$x^2 = 101$となるものが存在するかどうかを判定します。$x = \sqrt{101}$ですが、$\sqrt{101}$は自然数ではありません。$\sqrt{100}=10$で、$\sqrt{121}=11$なので、$\sqrt{101}$は10と11の間の数です。従って、この命題は偽です。

3. 最終的な答え

1. 真

2. 真

3. 真

4. 偽