PからQまで最短経路で行く方法の総数を求める問題です。ただし、以下の条件があります。 (1) Rを通って行く。 (2) X印の箇所は通らないで行く。 (3) Rを通り、X印の箇所は通らないで行く。

1. 問題の内容

PからQまで最短経路で行く方法の総数を求める問題です。ただし、以下の条件があります。

(1) Rを通って行く。

(2) X印の箇所は通らないで行く。

(3) Rを通り、X印の箇所は通らないで行く。

2. 解き方の手順

(1) Rを通って行く場合：

PからRまでの最短経路の数と、RからQまでの最短経路の数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。

PからRまでは右に2マス、下に1マスなので、経路の数は $_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$通りです。

RからQまでは右に4マス、下に3マスなので、経路の数は $_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通りです。

したがって、Rを通って行く経路の数は $3 \times 35 = 105$通りです。

(2) X印の箇所は通らないで行く場合：

まず、PからQまでの最短経路の総数を求めます。これは右に6マス、下に4マスなので、$_{10}C_{4} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$通りです。

次に、X印の箇所を通る経路の数を求めます。

PからX印までは右に1マス、下に3マスなので、経路の数は $_{4}C_{1} = \frac{4!}{1!3!} = 4$通りです。

X印からQまでは右に5マス、下に1マスなので、経路の数は $_{6}C_{1} = \frac{6!}{1!5!} = 6$通りです。

したがって、X印を通る経路の数は $4 \times 6 = 24$通りです。

X印を通らない経路の数は、全体の経路数からX印を通る経路数を引けばよいので、$210 - 24 = 186$通りです。

(3) Rを通り、X印の箇所は通らないで行く場合：

Rを通る経路の数は(1)で求めたように105通りです。

Rを通り、かつX印を通る経路の数を求めます。

PからRまでは3通り。RからX印までは右に−1マス、下に2マスなので０通り。しかし、PからX印を通ってRを通る場合を考えます。するとそのような経路は存在しないのでXを通る経路からRを通る経路を引くことで考えます。

PからX印までは $_{4}C_{1} = 4$通りです。X印からRまでは右に-1、上に2で経路はないので０通り。RからXの順番では経路がないとわかります。

PからRを通ってQまで行く経路数105通り。

PからXを通ってQまで行く経路数24通り。

PからQまで行く経路数210通り。

RとXを両方通る経路数を計算します。PからRまでは $_{3}C_{1}=3$通り。RからX印までは進めないのでRを通ってからX印を通る経路はありません。

PからXを通ってRを通る経路もありません。

なので、$105-0 = 105$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 105通り

(2) 186通り

(3) 105通り