この問題は、順列組み合わせに関する複数の小問から構成されています。具体的には、 * `medicine`という単語の文字を並び替える場合の数 * 最短経路を通る場合の数 * グループからの人数の選び方 * 特定の人が選ばれる場合の数 を計算する問題です。

1. 問題の内容

この問題は、順列組み合わせに関する複数の小問から構成されています。具体的には、

* `medicine`という単語の文字を並び替える場合の数

* 最短経路を通る場合の数

* グループからの人数の選び方

* 特定の人が選ばれる場合の数

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(5) `medicine` の文字の並び替え

* (1) 全ての並べ方：`medicine` は8文字ですが、`i`が2つ、`e`が2つあるので、$\frac{8!}{2!2!}$ を計算します。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

$2! = 2$ なので、$\frac{40320}{2 \times 2} = \frac{40320}{4} = 10080$ 通り

* (2) 子音 m, d, c, n がこの順に並ぶもの：8文字を並べる順列で、子音の並び順が固定されているため、子音を区別しないものとして考えます。

まず、全て並べる場合の数は $\frac{8!}{2!2!} = 10080$ 通りです。m, d, c, nの４文字の並び方は4! = 24通りですが、このうち指定された並び方は１通りなので、$\frac{1}{4!}$ を掛けて計算します。

$\frac{8!}{2!2!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{40320}{4 \times 24} = \frac{40320}{96} = 420$ 通り

(6) 街路の最短経路

* (1) AからBまでの最短経路：AからBまで行くには、右に6回、上に3回移動する必要があります。合計9回の移動のうち、右への移動6回と上への移動3回を選ぶ組み合わせを考えます。これは $_{9}C_{6}$ または $_{9}C_{3}$ で計算できます。

$_{9}C_{3} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通り　**計算ミスがあります。**

$_{9}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84$ 通り。

問題文中の計算は $\frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = 84$

84 *　６ =　504 なので問題文中の計算結果は合っています。

* (2) PとQを通らない場合：AからBへの経路からPとQを通る経路を引きます。

AからPへは右2回、上1回なので $_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

QからBへは右4回、上2回なので $_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

PからQへは右1回、上1回なので　$_2C_1 = 2$通り。

したがってAからPを経由してQを経由してBへ行く経路は $3 \times 2 \times 15 = 90$通り。

PとQを通らないAからBへの経路は$84 - 90 = -6$ 通りとなり矛盾が生じます。

AからBまでの経路は84通りでした。

AからPまでの経路は3通り、QからBまでの経路は15通り。

AからPまでの経路は、右に2回、上に1回進む。

PからQまでの経路は、右に1回、上に1回進む。

QからBまでの経路は、右に3回、上に1回進む。

したがって、AからBまでPとQを通らずに行く経路は、AからBへの経路全体から、AからPを通ってQを通ってBに行く経路を引いたものである。

計算し直します。AからBへの最短経路は $_{9}C_{3} = 84$ 通り。

AからPまでの経路は $_3C_2 = 3$ 通り。

PからQまでの経路は $_2C_1 = 2$ 通り。

QからBまでの経路は $_4C_3 = 4$ 通り。

AからPを通ってQを通ってBに行く経路は $3 \times 2 \times 4 = 24$ 通り。

AからBまでPとQを通らずに行く経路は $84 - 24 = 60$ 通り。

**問題文中の解答は間違っています。**

(7) グループからの人数の選び方

* (1) 全体の選び方：A組6人、B組4人から3人を選ぶので、合計10人から3人を選ぶことになります。

$_{10}C_{3} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ 通り

* (2) A組から2人、B組から1人選ぶ：A組から2人を選ぶ組み合わせは $_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 通り。B組から1人を選ぶ組み合わせは $_{4}C_{1} = 4$ 通り。したがって、全体の組み合わせは $15 \times 4 = 60$ 通り。

**問題文中の解答は間違っています。**

(8) 委員の選び方

* (1) 特定の1人が選ばれる：15人から4人の委員を選ぶとき、特定の1人が必ず選ばれるということは、残りの14人から3人を選ぶことになります。

$_{14}C_{3} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \times 13 \times 12}{3 \times 2 \times 1} = 14 \times 13 \times 2 = 364$ 通り

* (2) 特定の2人A, Bが選ばれる：15人から4人の委員を選ぶとき、特定の2人が必ず選ばれるということは、残りの13人から2人を選ぶことになります。

$_{13}C_{2} = \frac{13!}{2!11!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$ 通り

3. 最終的な答え

(5)

* (1) 10080通り

* (2) 420通り

(6)

* (1) 84通り

* (2) 60通り

(7)

* (1) 120通り

* (2) 60通り

(8)

* (1) 364通り

* (2) 78通り