問題は2つあります。 1. 5人の大人と3人の子どもが円形のテーブルの周りに座る時、子ども同士が隣り合わない座り方は何通りあるか。ただし、回転して一致するものは同じ座り方とみなす。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 5人の大人と3人の子どもが円形のテーブルの周りに座る時、子ども同士が隣り合わない座り方は何通りあるか。ただし、回転して一致するものは同じ座り方とみなす。

2. 正五角柱の7つの面を、赤、青、黄、緑、黒、紫の6色で塗り分ける。ただし、隣り合う面は異なる色を塗り、6色はすべて使う。回転して同じになるものは同じ塗り方とみなす。このとき、2つの五角形の面を同じ色で塗るような塗り方は何通りあるか、また、正五角柱の塗り方の総数は何通りあるか。

2. 解き方の手順

**問題1**

1. まず、大人5人を円形に並べる。円順列なので、並べ方は$(5-1)! = 4! = 24$通り。

2. 次に、大人の間に子どもの席を作る。大人5人の間には5つのスペースがある。この5つのスペースから3つを選んで子どもを座らせる。

3. 5つのスペースから3つを選ぶ方法は$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

4. 選んだ3つのスペースに子どもを並べる方法は$3! = 6$通り。

5. したがって、子ども同士が隣り合わない座り方は $24 \times 10 \times 6 = 1440$通り。

**問題2**

正五角柱の塗り分けを考えます。

* **2つの五角形の面を同じ色で塗る場合**

1. 2つの五角形の面を塗る色を6色から1色選ぶ。選び方は$\binom{6}{1} = 6$通り。

2. 残りの5つの側面を5色で塗る。円順列なので、$(5-1)! = 4! = 24$通り。

よって、$6 \times 24 = 144$通り。

* **正五角柱の塗り方の総数**

1. 底面の一方を6色から選びます。6通り。

2. もう一方の底面を、先ほど選んだ色以外の5色から選びます。5通り。

3. 側面の塗り方は、残りの5色を円順列で並べることになりますが、条件により、隣り合う面は異なる色で塗る必要があるため、単純な円順列の公式は使えません。以下のように考えます。

4. 一つの側面の色を固定します。残りの4つの側面を4色で塗る方法を考えます。隣り合う面が異なる色になるように塗る必要があります。これは難しいので、側面5色の円順列の総数から、隣り合う面が同じ色になる場合を引くことは困難です。よって、別の考え方をします。

5. 隣り合う面は異なる色で塗らなければならないことを考慮して考えると、一方向に見ていくと、例えばある側面の色を決めると、次の側面の色の候補は４つになります。その次には３つか４つになります。場合分けが必要です。ここは一旦飛ばして、正五角柱の塗り方の総数はより難しい問題として考えます。

側面5色の円順列は $(5-1)! = 4! = 24$ 通りですが、条件を満たさないものが多く含まれます。正五角柱の塗り方の総数を求めるのはかなり複雑な問題です。

問題文に「2つの五角形の面を同じ色で塗るような、正五角柱の塗り方は」とあるので、まずはその数を求めます。

上の計算より144通りです。

3. 最終的な答え

問題1の答え：1440 通り

問題2の答え：

* 2つの五角形の面を同じ色で塗る塗り方：144通り

* 正五角柱の塗り方の総数：（計算困難）