問題は、方程式 $x + y + z = 10$ を満たす正の整数解 $(x, y, z)$ の組が何個あるかを求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、方程式 $x + y + z = 10$ を満たす正の整数解 $(x, y, z)$ の組が何個あるかを求めるものです。

2. 解き方の手順

$x, y, z$ は正の整数であるため、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ を満たします。

そこで、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ と置くと、$x', y', z'$ は非負の整数となります。

このとき、元の式は以下のように書き換えられます。

$(x' + 1) + (y' + 1) + (z' + 1) = 10$

整理すると、

$x' + y' + z' = 10 - 3 = 7$

となります。

ここで、$x', y', z'$ は非負の整数なので、この方程式を満たす非負整数解の組の個数を求めればよいことになります。

これは、7個の区別できないボールを3つの区別できる箱に入れる場合の数と同じです。

仕切りの考え方を用いると、7個のボールと2個の仕切りを並べる順列の数を数えることになります。

これは、全部で $7+2 = 9$ 個の場所から、仕切りの場所を選ぶ組み合わせの数に等しいので、

${}_9 C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

となります。

3. 最終的な答え

36個