問題は、2種類の記号（〇、●）を並べて記号を作る問題と、5個の数字（0, 1, 2, 3, 4）を使って自然数を作る問題の2つに分かれています。 (1) 記号の問題: (1) 〇と●を合わせて4個並べるとき、何通りの記号が作れるか。 (2) 〇と●を1個以上4個以下並べるとき、何通りの記号が作れるか。 (3) 100通りの記号を作るためには、〇と●を最小限何個まで並べる必要があるか。 (2) 数字の問題: (1) 3桁の自然数は何個作れるか。 (2) 3桁以下の自然数は何個作れるか。 (3) 123より小さい自然数は何個作れるか。

1. 問題の内容

問題は、2種類の記号（〇、●）を並べて記号を作る問題と、5個の数字（0, 1, 2, 3, 4）を使って自然数を作る問題の2つに分かれています。

(1) 記号の問題:

(1) 〇と●を合わせて4個並べるとき、何通りの記号が作れるか。

(2) 〇と●を1個以上4個以下並べるとき、何通りの記号が作れるか。

(3) 100通りの記号を作るためには、〇と●を最小限何個まで並べる必要があるか。

(2) 数字の問題:

(1) 3桁の自然数は何個作れるか。

(2) 3桁以下の自然数は何個作れるか。

(3) 123より小さい自然数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 記号の問題:

(1) 4個並べる場合：各位置に〇か●の2通りが選べるので、$2^4 = 16$ 通り。

(2) 1個以上4個以下並べる場合：

1個の場合：$2^1 = 2$通り

2個の場合：$2^2 = 4$通り

3個の場合：$2^3 = 8$通り

4個の場合：$2^4 = 16$通り

合計：$2 + 4 + 8 + 16 = 30$ 通り

(3) 100通りの記号を作るためには：

1個の場合：2通り

2個の場合：4通り

3個の場合：8通り

4個の場合：16通り

5個の場合：$2^5 = 32$通り

6個の場合：$2^6 = 64$通り

合計：$2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62$通り

さらに6個並べると62+64 = 126通りとなり100通りを超えるので、6個並べる必要がある。

(2) 数字の問題:

(1) 3桁の自然数：

百の位は0以外なので4通り、十の位、一の位は5通りずつ。

$4 \times 5 \times 5 = 100$ 個

(2) 3桁以下の自然数：

1桁の場合：0以外の4通り

2桁の場合：十の位は0以外なので4通り、一の位は5通り。$4 \times 5 = 20$通り

3桁の場合：(1)より100通り

合計：$4 + 20 + 100 = 124$ 個

(3) 123より小さい自然数：

1桁の場合：1, 2, 3, 4の4個

2桁の場合：10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44の20個

3桁の場合：100, 101, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113, 114, 120, 121, 122の13個

合計：4 + 20 + 13 = 37個

3. 最終的な答え

(1) 記号の問題:

(1) 16通り

(2) 30通り

(3) 7個

(2) 数字の問題:

(1) 100個

(2) 124個

(3) 37個