右の図のような道のある地域で、以下の最短の道順は何通りあるか。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある地域で、以下の最短の道順は何通りあるか。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く場合：

AからBへ行くには、右に4回、上に3回移動する必要がある。

したがって、合計7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数を求めれば良い。

これは、組み合わせの公式を用いて計算できる。

$\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) AからCを通ってBまで行く場合：

AからCへ行くには、右に2回、上に1回移動する必要がある。

CからBへ行くには、右に2回、上に2回移動する必要がある。

AからCへの経路数は、$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$通り。

CからBへの経路数は、$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

したがって、AからCを通ってBへ行く経路数は、 $3 \times 6 = 18$通り。

(3) AからCを通らずにBまで行く場合：

AからBへのすべての経路数から、AからCを通ってBへ行く経路数を引けば良い。

したがって、AからCを通らずにBへ行く経路数は、$35 - 18 = 17$通り。

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く経路数：35通り

(2) AからCを通ってBまで行く経路数：18通り

(3) AからCを通らずにBまで行く経路数：17通り