与えられた格子状の街路において、点Pから点Qへ最短経路で移動する場合の経路数を求める問題です。ただし、以下の4つの場合について経路数を計算します。 (1) 総数 (2) 点Rを通る経路 (3) 点Rと点Sの両方を通る経路 (4) ×印の地点を通らない経路

1. 問題の内容

与えられた格子状の街路において、点Pから点Qへ最短経路で移動する場合の経路数を求める問題です。ただし、以下の4つの場合について経路数を計算します。

(1) 総数

(2) 点Rを通る経路

(3) 点Rと点Sの両方を通る経路

(4) ×印の地点を通らない経路

2. 解き方の手順

(1) 総数:

PからQへ行くには、右に5回、下に4回移動する必要があります。したがって、総経路数は、9回の移動のうち、右への移動5回を選ぶ組み合わせの数で求められます。

計算式は ${9 \choose 5}$ です。

${9 \choose 5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) 点Rを通る経路:

PからRへ行き、RからQへ行く経路数を計算します。

PからRへは、右に2回、下に2回移動する必要があります。したがって、${4 \choose 2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

RからQへは、右に3回、下に2回移動する必要があります。したがって、${5 \choose 3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

したがって、Rを通る経路数は $6 \times 10 = 60$ 通りです。

(3) 点Rと点Sの両方を通る経路:

PからRへ行き、RからSへ行き、SからQへ行く経路数を計算します。

PからRへは、${4 \choose 2} = 6$ 通りです（(2)で計算済み）。

RからSへは、右に1回、下に1回移動する必要があります。したがって、${2 \choose 1} = 2$ 通りです。

SからQへは、右に2回、下に1回移動する必要があります。したがって、${3 \choose 2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

したがって、RとSの両方を通る経路数は $6 \times 2 \times 3 = 36$ 通りです。

(4) ×印の地点を通らない経路:

まず、×印の地点を通る経路数を計算します。

Pから×印の地点へ行くには、右に1回、下に3回移動する必要があります。したがって、${4 \choose 1} = 4$ 通りです。

×印の地点からQへ行くには、右に4回、下に1回移動する必要があります。したがって、${5 \choose 1} = 5$ 通りです。

したがって、×印の地点を通る経路数は $4 \times 5 = 20$ 通りです。

総経路数から×印の地点を通る経路数を引くと、×印の地点を通らない経路数が得られます。

したがって、×印の地点を通らない経路数は $126 - 20 = 106$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 総数: 126通り

(2) Rを通る経路: 60通り

(3) R, Sをともに通る経路: 36通り

(4) ×印の箇所を通らない経路: 106通り