12人の生徒を、指定された人数でグループ分けする方法の数を求める問題です。具体的には、以下の6つの場合について考えます。 (1) 7人と5人の2組に分ける (2) 6人、4人、2人の3組に分ける (3) 6人ずつA, Bの2部屋に入れる (4) 6人ずつの2組に分ける (5) 8人、2人、2人の3組に分ける (6) 3人ずつの4組に分ける

1. 問題の内容

12人の生徒を、指定された人数でグループ分けする方法の数を求める問題です。具体的には、以下の6つの場合について考えます。

(1) 7人と5人の2組に分ける

(2) 6人、4人、2人の3組に分ける

(3) 6人ずつA, Bの2部屋に入れる

(4) 6人ずつの2組に分ける

(5) 8人、2人、2人の3組に分ける

(6) 3人ずつの4組に分ける

2. 解き方の手順

(1) 7人と5人の2組に分ける場合

12人から7人を選ぶ組み合わせを考えればよいので、

$_{12}C_7 = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$ 通り

(2) 6人、4人、2人の3組に分ける場合

12人から6人を選び、残りの6人から4人を選び、さらに残りの2人から2人を選ぶ組み合わせを考えます。

$\frac{12!}{6!4!2!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 13860$ 通り

(3) 6人ずつA, Bの2部屋に入れる場合

12人からAに入れる6人を選ぶ組み合わせを考えればよいので、

$_{12}C_6 = \frac{12!}{6!6!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$ 通り

(4) 6人ずつの2組に分ける場合

12人から6人を選び、残りの6人をもう一つの組に入れる組み合わせを考えます。ただし、2つの組は区別しないので、2!で割る必要があります。

$\frac{_{12}C_6}{2!} = \frac{924}{2} = 462$ 通り

(5) 8人、2人、2人の3組に分ける場合

12人から8人を選び、残りの4人から2人を選び、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせを考えます。ただし、2人の組は区別しないので、2!で割る必要があります。

$\frac{_{12}C_8 \times _4C_2 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{12!}{8!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{2!} = \frac{495 \times 6 \times 1}{2} = \frac{2970}{2} = 1485$ 通り

(6) 3人ずつの4組に分ける場合

$\frac{12!}{(3!)^4 \times 4!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 6 \times 6 \times 6) \times 24} = 15400$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 792通り

(2) 13860通り

(3) 924通り

(4) 462通り

(5) 1485通り

(6) 15400通り