$x^4 - 169$ を、係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解してください。

1. 問題の内容

$x^4 - 169$ を、係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解してください。

2. 解き方の手順

(1) 有理数の範囲での因数分解

$x^4 - 169$ は、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用して因数分解できます。

まず、$x^4 - 169 = (x^2)^2 - (13)^2$ と考えます。

すると、$x^4 - 169 = (x^2 + 13)(x^2 - 13)$となります。

ここで、$x^2 - 13$ は、有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。なぜなら、$x^2 = 13$ を満たす $x$ は $\pm \sqrt{13}$ であり、$\sqrt{13}$ は無理数だからです。

同様に、$x^2 + 13$も有理数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、有理数の範囲での因数分解は $(x^2 + 13)(x^2 - 13)$ です。

(2) 実数の範囲での因数分解

上記(1)の結果から、$x^4 - 169 = (x^2 + 13)(x^2 - 13)$ となっています。

$x^2 - 13$ について、$x^2 - 13 = (x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})$と因数分解できます。

$x^2 + 13$ は、$x^2 + 13 = 0$ となる $x$ が虚数となるため、実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

したがって、実数の範囲での因数分解は $(x^2 + 13)(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})$ です。

(3) 複素数の範囲での因数分解

$x^2 + 13 = 0$ となる $x$ を求めると、$x = \pm \sqrt{-13} = \pm i\sqrt{13}$ となります。

したがって、$x^2 + 13 = (x - i\sqrt{13})(x + i\sqrt{13})$ と因数分解できます。

上記(2)の結果と合わせて、$x^4 - 169 = (x - i\sqrt{13})(x + i\sqrt{13})(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})$ となります。

3. 最終的な答え

有理数: $(x^2 + 13)(x^2 - 13)$

実数: $(x^2 + 13)(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})$

複素数: $(x - i\sqrt{13})(x + i\sqrt{13})(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13})$