二次方程式 $-x^2+4x+5=0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$2\alpha$, $2\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の二次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $-x^2+4x+5=0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$2\alpha$, $2\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の二次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次方程式 $-x^2+4x+5=0$ を変形します。

両辺に $-1$ をかけると、

$x^2 - 4x - 5 = 0$

となります。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = -5$

です。

求める二次方程式の解は $2\alpha$, $2\beta$ ですから、解と係数の関係を逆に利用して、

解の和は $2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2(4) = 8$

解の積は $(2\alpha)(2\beta) = 4\alpha \beta = 4(-5) = -20$

です。

$x^2$ の係数が 1 で、解が $2\alpha$, $2\beta$ である二次方程式は

$x^2 - (2\alpha + 2\beta)x + (2\alpha)(2\beta) = 0$

つまり、

$x^2 - 8x - 20 = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$x^2 - 8x - 20 = 0$