2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$4\alpha$、$4\beta$ を解とする $x^2$ の係数が 1 の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$4\alpha$、$4\beta$ を解とする $x^2$ の係数が 1 の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、元の2次方程式 $2x^2 + x + 4 = 0$ の解 $\alpha$、$\beta$ について、解と係数の関係から、次の式が成り立つ。

$\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$

$\alpha \beta = \frac{4}{2} = 2$

次に、$4\alpha$、$4\beta$ を解とする2次方程式を考える。求める2次方程式を $x^2 + px + q = 0$ とすると、解と係数の関係から、次の式が成り立つ。

$4\alpha + 4\beta = -p$

$(4\alpha)(4\beta) = q$

上記の式に $\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$ と $\alpha \beta = 2$ を代入する。

$4(\alpha + \beta) = 4(-\frac{1}{2}) = -2 = -p$

よって、$p=2$

$16\alpha\beta = 16(2) = 32 = q$

よって、$q=32$

したがって、求める2次方程式は $x^2 + 2x + 32 = 0$ となる。

3. 最終的な答え

x²+2x+32=0