2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$5\alpha$、$5\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$5\alpha$、$5\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 2x + 3 = 0$ の解と係数の関係を考えます。解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -2$$

$$\alpha \beta = 3$$

次に、$5\alpha$、$5\beta$ を解とする2次方程式を考えます。解と係数の関係の逆より、2つの解の和と積を計算します。

$$5\alpha + 5\beta = 5(\alpha + \beta) = 5(-2) = -10$$

$$(5\alpha)(5\beta) = 25\alpha\beta = 25(3) = 75$$

求める2次方程式は、$x^2$ の係数が1なので、次のように表せます。

$$x^2 - (5\alpha + 5\beta)x + (5\alpha)(5\beta) = 0$$

求めた和と積を代入すると、

$$x^2 - (-10)x + 75 = 0$$

$$x^2 + 10x + 75 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 10x + 75 = 0$