2つの数 $\alpha$ と $\beta$ について、$\alpha + \beta = -2$, $\alpha\beta = 5$ が成り立つとき、 $3\alpha$ と $3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2つの数 $\alpha$ と $\beta$ について、$\alpha + \beta = -2$, $\alpha\beta = 5$ が成り立つとき、 $3\alpha$ と $3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

$3\alpha$ と $3\beta$ を解とする2次方程式は、

$(x - 3\alpha)(x - 3\beta) = 0$

と表すことができます。

これを展開すると、

$x^2 - 3\alpha x - 3\beta x + 9\alpha\beta = 0$

$x^2 - 3(\alpha + \beta)x + 9\alpha\beta = 0$

となります。

$\alpha + \beta = -2$ および $\alpha\beta = 5$ を代入すると、

$x^2 - 3(-2)x + 9(5) = 0$

$x^2 + 6x + 45 = 0$

となります。

3. 最終的な答え

$x^2 + 6x + 45 = 0$