2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha - 1$, $\beta - 1$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha - 1$, $\beta - 1$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 + 4x + 1 = 0$ の解 $\alpha$, $\beta$ について、解と係数の関係から

$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

である。

次に、$\alpha - 1$ と $\beta - 1$ を解とする2次方程式を考える。

解と係数の関係から、その方程式は

$(x - (\alpha - 1))(x - (\beta - 1)) = 0$

と表せる。これを展開すると、

$x^2 - (\alpha - 1 + \beta - 1)x + (\alpha - 1)(\beta - 1) = 0$

$x^2 - (\alpha + \beta - 2)x + (\alpha \beta - \alpha - \beta + 1) = 0$

となる。

ここで、$\alpha + \beta = -2$ と $\alpha \beta = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$x^2 - (-2 - 2)x + (\frac{1}{2} - (-2) + 1) = 0$

$x^2 + 4x + \frac{1}{2} + 2 + 1 = 0$

$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$