2次方程式 $x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とする。このとき、$\alpha + 2$、$\beta + 2$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とする。このとき、$\alpha + 2$、$\beta + 2$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求める。

元の2次方程式 $x^2 + 4x + 5 = 0$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -4$

$\alpha \beta = 5$

次に、求める2次方程式の解である $\alpha + 2$ と $\beta + 2$ の和と積を計算する。

$(\alpha + 2) + (\beta + 2) = \alpha + \beta + 4 = -4 + 4 = 0$

$(\alpha + 2)(\beta + 2) = \alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 4 = 5 + 2(-4) + 4 = 5 - 8 + 4 = 1$

求める2次方程式を $x^2 + px + q = 0$ とすると、解と係数の関係から、

$-p = (\alpha + 2) + (\beta + 2) = 0$

$q = (\alpha + 2)(\beta + 2) = 1$

したがって、$p = 0$、$q = 1$ となるので、求める2次方程式は

$x^2 + 0x + 1 = 0$

つまり、$x^2 + 1 = 0$ である。

3. 最終的な答え

$x^2 + 1 = 0$