ベクトル $\mathbf{A} = ka_x + 2a_y - 6a_z$ とベクトル $\mathbf{B} = 2a_x + 3a_y + 4a_z$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ のスカラー積とベクトル積を求めます。 (2) $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交するとき、スカラー積を用いて $k$ の値を決定します。 (3) $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交するとき、ベクトル積を用いて $k$ の値を決定します。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{A} = ka_x + 2a_y - 6a_z$ とベクトル $\mathbf{B} = 2a_x + 3a_y + 4a_z$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ のスカラー積とベクトル積を求めます。

(2) $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交するとき、スカラー積を用いて $k$ の値を決定します。

(3) $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交するとき、ベクトル積を用いて $k$ の値を決定します。

2. 解き方の手順

(1) スカラー積とベクトル積を求める。

* スカラー積: $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

* ベクトル積: $\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (A_y B_z - A_z B_y)a_x + (A_z B_x - A_x B_z)a_y + (A_x B_y - A_y B_x)a_z$

(2) スカラー積を用いて $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交する条件から $k$ の値を求める。

* $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交するとき、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0$

(3) ベクトル積を用いて $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交する条件から $k$ の値を求める。

* $\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交するとき、$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{0}$となるわけではないので注意が必要です。

$\mathbf{A}$ と $\mathbf{B}$ が直交するとき、スカラー積はゼロとなります。従ってスカラー積がゼロとなるようなkを求めます。

ベクトル積の結果から、$a_x$, $a_y$, $a_z$それぞれの係数がゼロになるわけではありません。

ただし、スカラー積 = 0 の条件は、ベクトル積を利用して求めることも可能です。

ベクトル積の各成分がゼロとなることは $\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$が平行であることを意味します。

具体的な計算:

(1)

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (k)(2) + (2)(3) + (-6)(4) = 2k + 6 - 24 = 2k - 18$

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = ((2)(4) - (-6)(3))a_x + ((-6)(2) - (k)(4))a_y + ((k)(3) - (2)(2))a_z = (8 + 18)a_x + (-12 - 4k)a_y + (3k - 4)a_z = 26a_x + (-12 - 4k)a_y + (3k - 4)a_z$

(2)

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = 0$ より、$2k - 18 = 0$。よって、$k = 9$

(3)

$\mathbf{A}$と$\mathbf{B}$が直交するとき、スカラー積はゼロなので、(2)の結果より $k=9$

3. 最終的な答え

(1) スカラー積: $2k - 18$, ベクトル積: $26a_x + (-12 - 4k)a_y + (3k - 4)a_z$

(2) $k = 9$

(3) $k = 9$