ベクトル $\vec{A} = k\vec{a_x} + 2\vec{a_y} - 6\vec{a_z}$ と $\vec{B} = 2\vec{a_x} + 3\vec{a_y} + 4\vec{a_z}$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のスカラー積とベクトル積を求めます。 (2) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ が直交するとき、スカラー積を用いて $k$ の値を決定します。 (3) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ が直交するとき、ベクトル積を用いて $k$ の値を決定します。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A} = k\vec{a_x} + 2\vec{a_y} - 6\vec{a_z}$ と $\vec{B} = 2\vec{a_x} + 3\vec{a_y} + 4\vec{a_z}$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のスカラー積とベクトル積を求めます。

(2) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ が直交するとき、スカラー積を用いて $k$ の値を決定します。

(3) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ が直交するとき、ベクトル積を用いて $k$ の値を決定します。

2. 解き方の手順

(1) スカラー積とベクトル積を求める

スカラー積:

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (k)(2) + (2)(3) + (-6)(4) = 2k + 6 - 24 = 2k - 18$

ベクトル積:

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \vec{a_x} & \vec{a_y} & \vec{a_z} \\ k & 2 & -6 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = (8 + 18)\vec{a_x} - (4k + 12)\vec{a_y} + (3k - 4)\vec{a_z} = 26\vec{a_x} - (4k + 12)\vec{a_y} + (3k - 4)\vec{a_z}$

(2) スカラー積を用いて $k$ を求める

$\vec{A}$ と $\vec{B}$ が直交する時、$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ です。

$2k - 18 = 0$

$2k = 18$

$k = 9$

(3) ベクトル積を用いて $k$ を求める

$\vec{A}$ と $\vec{B}$ が直交する時、$\vec{A} \times \vec{B}$ の方向ベクトルは $\vec{A}$ と $\vec{B}$ 両方に垂直な方向を向きます。

ベクトル積を用いる方法は、$\vec{A}\times\vec{B} \neq 0$ である限り、kを直接求める方法ではありません。

$\vec{A}$と$\vec{B}$が直交するとき$\vec{A} \times \vec{B}$はゼロベクトルにはなりませんが、その大きさは最大になります。

$\vec{A}$と$\vec{B}$が直交する条件は$\vec{A} \cdot \vec{B}=0$を用いるのが一般的です。

ベクトル積を用いる場合:

$\vec{A}$ と $\vec{B}$ が直交する条件は、$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ であるから、$k = 9$ です。この値をベクトル積の結果に代入すると:

$\vec{A} \times \vec{B} = 26\vec{a_x} - (4(9) + 12)\vec{a_y} + (3(9) - 4)\vec{a_z} = 26\vec{a_x} - 48\vec{a_y} + 23\vec{a_z}$

3. 最終的な答え

(1)

スカラー積: $\vec{A} \cdot \vec{B} = 2k - 18$

ベクトル積: $\vec{A} \times \vec{B} = 26\vec{a_x} - (4k + 12)\vec{a_y} + (3k - 4)\vec{a_z}$

(2)

$k = 9$

(3)

$k = 9$