与えられた2階線形常微分方程式 $y'' + 2y' + y = e^{-t}$ を、初期条件 $y(0) = 1$ および $y'(0) = -1$ の下で、ラプラス変換を用いて解きます。

1. 問題の内容

与えられた2階線形常微分方程式 $y'' + 2y' + y = e^{-t}$ を、初期条件 $y(0) = 1$ および $y'(0) = -1$ の下で、ラプラス変換を用いて解きます。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた微分方程式の両辺をラプラス変換します。$\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)$ とおきます。ラプラス変換の性質より、$\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$、$\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$、$\mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s+1}$ となります。

したがって、微分方程式のラプラス変換は次のようになります。

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2(sY(s) - y(0)) + Y(s) = \frac{1}{s+1}$

(2) 初期条件 $y(0) = 1$ および $y'(0) = -1$ を代入します。

$s^2Y(s) - s - (-1) + 2(sY(s) - 1) + Y(s) = \frac{1}{s+1}$

整理すると、

$s^2Y(s) - s + 1 + 2sY(s) - 2 + Y(s) = \frac{1}{s+1}$

$(s^2 + 2s + 1)Y(s) - s - 1 = \frac{1}{s+1}$

$(s+1)^2 Y(s) = s + 1 + \frac{1}{s+1}$

$(s+1)^2 Y(s) = \frac{(s+1)^2 + 1}{s+1}$

$Y(s) = \frac{(s+1)^2 + 1}{(s+1)^3} = \frac{s^2 + 2s + 2}{(s+1)^3}$

(3) $Y(s)$ を部分分数分解します。

$Y(s) = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^2} + \frac{C}{(s+1)^3}$

$s^2 + 2s + 2 = A(s+1)^2 + B(s+1) + C$

$s^2 + 2s + 2 = A(s^2+2s+1) + B(s+1) + C$

$s^2 + 2s + 2 = As^2 + (2A+B)s + A+B+C$

係数を比較すると、

$A = 1$

$2A + B = 2 \implies B = 0$

$A + B + C = 2 \implies 1 + 0 + C = 2 \implies C = 1$

したがって、

$Y(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{0}{(s+1)^2} + \frac{1}{(s+1)^3} = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^3}$

(4) 逆ラプラス変換を行います。$\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+1}\} = e^{-t}$、$\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{(s+1)^3}\} = e^{-t} \frac{t^2}{2!}$ です。

したがって、

$y(t) = e^{-t} + \frac{1}{2} t^2 e^{-t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = e^{-t} + \frac{1}{2}t^2e^{-t}$