与えられた問題は、保存力による1次元の運動に関するもので、以下の4つの問いに答えます。 (a) 質量 $m$ の質点のポテンシャル $U(x)$ の下での運動を考え、運動可能な領域が $E-U(x) \geq 0$ で与えられるとき、質点の運動が式(1)で与えられることを示します。ここで $t(x)$ は $x(t)$ の逆関数であり、$x_0$ は初期座標です。 (b) 一定の力 $F$ がかかっている質点の軌跡 $x(t)$ を求めます。 (c) 与えられたポテンシャル $U(x)$ のグラフに対して、エネルギー $E_1, E_2, E_3, E_4$ を持つ質点が運動可能な範囲について説明します。 (d) 任意のポテンシャルの極小点において、そのテーラー展開を考え、極小点の近傍で質点が示す運動を議論します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、保存力による1次元の運動に関するもので、以下の4つの問いに答えます。

(a) 質量 $m$ の質点のポテンシャル $U(x)$ の下での運動を考え、運動可能な領域が $E-U(x) \geq 0$ で与えられるとき、質点の運動が式(1)で与えられることを示します。ここで $t(x)$ は $x(t)$ の逆関数であり、$x_0$ は初期座標です。

(b) 一定の力 $F$ がかかっている質点の軌跡 $x(t)$ を求めます。

(c) 与えられたポテンシャル $U(x)$ のグラフに対して、エネルギー $E_1, E_2, E_3, E_4$ を持つ質点が運動可能な範囲について説明します。

(d) 任意のポテンシャルの極小点において、そのテーラー展開を考え、極小点の近傍で質点が示す運動を議論します。

2. 解き方の手順

(a) エネルギー保存則 $K(x) + U(x) = E$ から、$K(x) = E - U(x)$。運動エネルギーは $K(x) = \frac{1}{2}mv^2$ なので、$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}}$。これを変形して $dt = \sqrt{\frac{m}{2(E - U(x))}}dx$。両辺を積分し、$x_0$ から $x$ までの時間を求めると、問題文にある $t(x)$ の式が得られます。

(b) 一定の力 $F$ がかかっている場合、$U(x) = -Fx$ です。したがって、運動方程式は $m\frac{d^2x}{dt^2} = F$ となり、これを積分すると、$x(t) = \frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2 + v_0t + x_0$ が得られます。ここで、$v_0$ は初期速度、$x_0$ は初期位置です。

(c) ポテンシャルのグラフから、$E_1$ を持つ質点は $x_8$ より大きい領域で運動可能です。

$E_2$ を持つ質点は $x_7$ より大きい領域で運動可能です。

$E_3$ を持つ質点は $x_6$ より大きい領域、または $x_1$ より小さい領域で運動可能です。

$E_4$ を持つ質点は $x_5$ より大きい領域、または $x_2$ より小さい領域で運動可能です。

(d) ポテンシャルの極小点 $x_m$ において、テーラー展開すると $U(x) \approx U(x_m) + \frac{1}{2}U''(x_m)(x - x_m)^2$ となります。ここで、$U'(x_m) = 0$ であり、$U''(x_m) > 0$ です。$U(x_m)$ は定数なので無視できます。このポテンシャルは調和振動子と同じ形をしているので、極小点の近傍では調和振動子のような運動をします。すなわち、質点は $x_m$ の周りで振動します。振動数は $\omega = \sqrt{\frac{U''(x_m)}{m}}$ で与えられます。

3. 最終的な答え

(a) 式(1)が導出されました。

(b) $x(t) = \frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2 + v_0t + x_0$

(c) $E_1$：$x > x_8$, $E_2$：$x > x_7$, $E_3$：$x > x_6$ または $x < x_1$, $E_4$：$x > x_5$ または $x < x_2$

(d) 調和振動子のような運動、振動数 $\omega = \sqrt{\frac{U''(x_m)}{m}}$