モースポテンシャル $U(r) = U_0 [e^{-2a(r-r_e)} - 2e^{-a(r-r_e)}]$ について、 (a) 分子の平衡結合距離と解離エネルギーを求めよ。 (b) $U(r)$ のグラフの概形を図示し、$U(r)$ の第1項と第2項が表す力を説明せよ。 (c) 安定平衡点近傍で調和振動子で近似できることを示し、有効バネ定数 $k_e$ を求め、極小点近傍での近似を図示し、議論せよ。

1. 問題の内容

モースポテンシャル $U(r) = U_0 [e^{-2a(r-r_e)} - 2e^{-a(r-r_e)}]$ について、

(a) 分子の平衡結合距離と解離エネルギーを求めよ。

(b) $U(r)$ のグラフの概形を図示し、$U(r)$ の第1項と第2項が表す力を説明せよ。

(c) 安定平衡点近傍で調和振動子で近似できることを示し、有効バネ定数 $k_e$ を求め、極小点近傍での近似を図示し、議論せよ。

2. 解き方の手順

(a) 平衡結合距離は、$U(r)$ を最小にする $r$ の値である。$U(r)$ を $r$ で微分し、0 とおいて解く。

$U'(r) = U_0 [-2ae^{-2a(r-r_e)} + 2ae^{-a(r-r_e)}] = 0$

$e^{-2a(r-r_e)} = e^{-a(r-r_e)}$

$-2a(r-r_e) = -a(r-r_e)$

$2a(r-r_e) = a(r-r_e)$

$r-r_e = 0$

$r = r_e$

したがって、平衡結合距離は $r_e$ である。

解離エネルギーは、$r \rightarrow \infty$ のときの $U(r)$ の値から、平衡位置での $U(r)$ の値を引いたものである。

$U(\infty) = U_0 [0 - 0] = 0$ は間違いである。正しくは以下：

$r \to \infty$ で $e^{-2a(r-r_e)} \to 0$ かつ $e^{-a(r-r_e)} \to 0$ なので、$U(r) \to 0$ となる。

平衡位置 $r = r_e$ での $U(r)$ の値は、

$U(r_e) = U_0 [e^0 - 2e^0] = U_0 [1 - 2] = -U_0$

したがって、解離エネルギーは $0 - (-U_0) = U_0$ である。

(b) $U(r) = U_0 [e^{-2a(r-r_e)} - 2e^{-a(r-r_e)}]$ のグラフは、$r = r_e$ で極小値をとり、$r \rightarrow \infty$ で 0 に漸近する。また、$r \rightarrow 0$ で $U(r) \rightarrow U_0 (e^{2ar_e} - 2e^{ar_e}) \to \infty$　となる。

第1項 $U_1(r) = U_0 e^{-2a(r-r_e)}$ は斥力を表す。原子間距離が小さくなると急激に増加する。

第2項 $U_2(r) = -2U_0 e^{-a(r-r_e)}$ は引力を表す。原子間距離が大きくなると緩やかに減少する。

(c) 安定平衡点近傍では、$U(r)$ を Taylor 展開で近似できる。

$U(r) \approx U(r_e) + U'(r_e)(r - r_e) + \frac{1}{2}U''(r_e)(r - r_e)^2$

$U(r_e) = -U_0$, $U'(r_e) = 0$ なので、

$U(r) \approx -U_0 + \frac{1}{2}U''(r_e)(r - r_e)^2$

$U''(r) = U_0 [4a^2e^{-2a(r-r_e)} - 2a^2e^{-a(r-r_e)}]$

$U''(r_e) = U_0 [4a^2 - 2a^2] = 2a^2U_0$

$U(r) \approx -U_0 + a^2U_0(r - r_e)^2$

$k_e = 2a^2U_0$ となる。

3. 最終的な答え

(a) 平衡結合距離: $r_e$

　 解離エネルギー: $U_0$

(b) グラフの概形は上記参照。第1項は斥力、第2項は引力を表す。

(c) 有効バネ定数: $k_e = 2a^2U_0$