川の中に仮締切りの矢板を打ち込んだ状態が図に示されている。矢板の奥行1mあたりに作用する全水圧とその作用方向・作用点を求める問題である。外側の水位が $H_1 = 3.3 \ m$、内側の水位が $H_2 = 0.9 \ m$ である。

1. 問題の内容

川の中に仮締切りの矢板を打ち込んだ状態が図に示されている。矢板の奥行1mあたりに作用する全水圧とその作用方向・作用点を求める問題である。外側の水位が $H_1 = 3.3 \ m$、内側の水位が $H_2 = 0.9 \ m$ である。

2. 解き方の手順

矢板に作用する全水圧は、外側からの水圧と内側からの水圧の差として計算できる。

まず、外側からの全水圧 $P_1$ を計算する。水圧は水深に比例するため、水圧の分布は三角形になる。全水圧は、この三角形の面積に相当する。

水の単位体積重量を $\gamma = 9.8 \ kN/m^3$ とすると、外側からの全水圧 $P_1$ は、

$P_1 = \frac{1}{2} \gamma H_1^2 \times 1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.3)^2 \times 1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 10.89 = 53.361 \ kN$

次に、内側からの全水圧 $P_2$ を計算する。同様に、

$P_2 = \frac{1}{2} \gamma H_2^2 \times 1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (0.9)^2 \times 1 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 0.81 = 3.969 \ kN$

したがって、矢板に作用する全水圧 $P$ は、外側からの水圧と内側からの水圧の差である。

$P = P_1 - P_2 = 53.361 - 3.969 = 49.392 \ kN$

作用点は、水圧分布図の重心に相当する。外側からの水圧の作用点$H_{c1}'$は、底面から$H_1/3 = 3.3/3 = 1.1 \ m$の位置、内側からの水圧の作用点$H_{c2}'$は底面から$H_2/3 = 0.9/3 = 0.3 \ m$の位置となる。

全水圧の作用点を求めるには、各水圧のモーメントの釣り合いを考える。底面からの距離を $H_c'$ とすると、

$P \times H_c' = P_1 \times \frac{H_1}{3} - P_2 \times \frac{H_2}{3}$

$49.392 H_c' = 53.361 \times 1.1 - 3.969 \times 0.3$

$49.392 H_c' = 58.6971 - 1.1907 = 57.5064$

$H_c' = \frac{57.5064}{49.392} = 1.164 \ m$

3. 最終的な答え

矢板に作用する全水圧: $49.392 \ kN$

作用方向: 外側から内側へ

作用点: 底面から $1.164 \ m$ の位置