質量 $m$ の質点が長さ $l$ の質量の無視できる棒に取り付けられた単振り子を考える。鉛直下方向を $\theta = 0$ とする極座標系を考え、ポテンシャルエネルギー $U$ を $\theta$ の関数として求め、 $U(\theta)$ のグラフを図示し、全エネルギー $E$ の値に応じて、起こり得る運動を議論せよ。$\theta = 0$ の近傍での $U(\theta)$ の近似を求め、図中に示し、議論に含めること。

1. 問題の内容

質量 $m$ の質点が長さ $l$ の質量の無視できる棒に取り付けられた単振り子を考える。鉛直下方向を $\theta = 0$ とする極座標系を考え、ポテンシャルエネルギー $U$ を $\theta$ の関数として求め、 $U(\theta)$ のグラフを図示し、全エネルギー $E$ の値に応じて、起こり得る運動を議論せよ。$\theta = 0$ の近傍での $U(\theta)$ の近似を求め、図中に示し、議論に含めること。

2. 解き方の手順

(1) ポテンシャルエネルギー $U(\theta)$ の導出

振り子の高さは、$l(1 - \cos\theta)$ で与えられる。したがって、ポテンシャルエネルギーは以下のようになる。

$U(\theta) = mgl(1 - \cos\theta)$

(2) $U(\theta)$ のグラフの図示

$U(\theta)$ は偶関数であり、$\theta = 0$ で最小値 $0$ をとる。$\theta = \pm \pi$ で最大値 $2mgl$ をとる。

(3) 全エネルギー $E$ の値に応じた運動の議論

* $0 < E < 2mgl$ の場合：振り子は $\theta = 0$ を中心とした振動運動を行う。振幅は $E = mgl(1 - \cos\theta_{max})$ を満たす $\theta_{max}$ で与えられる。

* $E = 2mgl$ の場合：振り子は $\theta = \pm \pi$ で静止する。

* $E > 2mgl$ の場合：振り子は回転運動を行う。

(4) $\theta = 0$ の近傍での $U(\theta)$ の近似

$\theta \approx 0$ のとき、$\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ と近似できる。したがって、

$U(\theta) \approx mgl \frac{\theta^2}{2} = \frac{1}{2} (mgl) \theta^2$

これは、単振動のポテンシャルエネルギーに相当する。$\theta = 0$ の近傍では、振り子は近似的に単振動を行う。角振動数 $\omega$ は、$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ で与えられる。

(5) 図示

$U(\theta)$ のグラフに $U(\theta) \approx \frac{1}{2} (mgl) \theta^2$ のグラフを重ねて描画する。$\theta = 0$ 近傍では、両方のグラフが一致する。

3. 最終的な答え

ポテンシャルエネルギー: $U(\theta) = mgl(1 - \cos\theta)$

$\theta=0$ 近傍での近似: $U(\theta) \approx \frac{1}{2} mgl\theta^2$