IS-LMモデルにおいて、初期状態が与えられたもとで、(1)政府支出を増加させた場合、(2)名目貨幣供給量を増加させた場合の、均衡実質GDP($Y^*$)と均衡実質利子率($r^*$)をそれぞれ求める問題です。初期状態は以下の通りです。 * $Y = C + I + G$ * $C = 10 + 0.7Y$ * $I = 60 - 50r$ * $G = 32$ * $\frac{M}{P} = L$ * $L = 87 + 0.2Y - 50r$ * $M = 150$ * $P = 3$ (1)では、$G = 117$に増加、(2)では、$M = 405$に増加させます。

1. 問題の内容

IS-LMモデルにおいて、初期状態が与えられたもとで、(1)政府支出を増加させた場合、(2)名目貨幣供給量を増加させた場合の、均衡実質GDP($Y^*$)と均衡実質利子率($r^*$)をそれぞれ求める問題です。初期状態は以下の通りです。

* $Y = C + I + G$

* $C = 10 + 0.7Y$

* $I = 60 - 50r$

* $G = 32$

* $\frac{M}{P} = L$

* $L = 87 + 0.2Y - 50r$

* $M = 150$

* $P = 3$

(1)では、$G = 117$に増加、(2)では、$M = 405$に増加させます。

2. 解き方の手順

まず、IS曲線とLM曲線を導出します。

IS曲線は、総供給と総需要が均衡する条件から導出できます。

$Y = C + I + G$に$C$、$I$の式を代入すると、

$Y = (10 + 0.7Y) + (60 - 50r) + G$

$Y = 70 + 0.7Y - 50r + G$

$0.3Y = 70 - 50r + G$

$Y = \frac{70+G}{0.3} - \frac{50}{0.3}r$

LM曲線は、貨幣市場が均衡する条件から導出できます。

$\frac{M}{P} = L$に$L$の式を代入すると、

$\frac{M}{P} = 87 + 0.2Y - 50r$

$0.2Y = \frac{M}{P} - 87 + 50r$

$Y = 5\frac{M}{P} - 435 + 250r$

次に、(1)と(2)の場合について、$Y$と$r$を計算します。

(1) 政府支出$G$が117に増加した場合

IS曲線は$Y = \frac{70+117}{0.3} - \frac{50}{0.3}r = \frac{187}{0.3} - \frac{50}{0.3}r$となります。

LM曲線は変化せず、$Y = 5\frac{150}{3} - 435 + 250r = 250 - 435 + 250r = -185 + 250r$です。

IS曲線の式とLM曲線の式を連立させると、

$\frac{187}{0.3} - \frac{50}{0.3}r = -185 + 250r$

$623.33 - 166.67r = -185 + 250r$

$808.33 = 416.67r$

$r = 1.94$

$Y = -185 + 250(1.94) = -185 + 485 = 300$

(2) 名目貨幣供給量$M$が405に増加した場合

IS曲線は変化せず、$Y = \frac{70+32}{0.3} - \frac{50}{0.3}r = \frac{102}{0.3} - \frac{50}{0.3}r= 340 - \frac{50}{0.3}r$です。

LM曲線は$Y = 5\frac{405}{3} - 435 + 250r = 675 - 435 + 250r = 240 + 250r$となります。

IS曲線の式とLM曲線の式を連立させると、

$340 - \frac{50}{0.3}r = 240 + 250r$

$100 = (\frac{50}{0.3} + 250)r$

$100 = 416.67r$

$r = 0.24$

$Y = 240 + 250(0.24) = 240 + 60 = 300$

3. 最終的な答え

(1) $G = 117$の場合： ($Y^*$, $r^*$) = (300, 1.94)

(2) $M = 405$の場合： ($Y^*$, $r^*$) = (300, 0.24)