与えられた問題は、直線運動する質点の角速度と角運動量に関するものです。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) 時刻 $t=0$ で質点が位置ベクトル $x_0 \mathbf{e}_x + L \mathbf{e}_y$ にいたとき、時刻 $t$ における質点の位置ベクトル $\mathbf{r}$ を求めます。 (2) 角 $\theta$ の正接を $x_0$, $v_0$, $t$, $L$ を用いて表します。 (3) 角速度 $\omega$ を $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ で求めます。ただし、$\theta = \tan^{-1} s$ のとき、$\frac{d\theta}{ds} = \frac{1}{1+s^2}$ であることを利用します。 (4) 原点Oの周りの角運動量 $\mathbf{L}$ を求めます。このとき、$z$ 軸は紙面垂直上方向です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、直線運動する質点の角速度と角運動量に関するものです。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) 時刻 $t=0$ で質点が位置ベクトル $x_0 \mathbf{e}_x + L \mathbf{e}_y$ にいたとき、時刻 $t$ における質点の位置ベクトル $\mathbf{r}$ を求めます。

(2) 角 $\theta$ の正接を $x_0$, $v_0$, $t$, $L$ を用いて表します。

(3) 角速度 $\omega$ を $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ で求めます。ただし、$\theta = \tan^{-1} s$ のとき、$\frac{d\theta}{ds} = \frac{1}{1+s^2}$ であることを利用します。

(4) 原点Oの周りの角運動量 $\mathbf{L}$ を求めます。このとき、$z$ 軸は紙面垂直上方向です。

2. 解き方の手順

(1) 時刻 $t=0$ での位置ベクトルが $x_0 \mathbf{e}_x + L \mathbf{e}_y$ であることから、初期位置は $(x_0, L)$ です。質点は直線運動をするので、$x$ 方向に速度 $v_0$ で等速運動すると仮定します。そうすると、時刻 $t$ における $x$ 座標は $x = x_0 + v_0 t$ となります。$y$ 座標は $L$ で一定です。したがって、位置ベクトル $\mathbf{r}$ は $\mathbf{r} = (x_0 + v_0 t) \mathbf{e}_x + L \mathbf{e}_y$ となります。

(2) 角 $\theta$ は、位置ベクトル $\mathbf{r}$ が $x$ 軸となす角です。したがって、$\tan \theta = \frac{L}{x_0 + v_0 t}$ となります。

(3) 角速度 $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ を求めます。$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{L}{x_0 + v_0 t} \right)$ なので、$\frac{d\theta}{dt} = \frac{d\theta}{ds} \frac{ds}{dt}$ となります。ここで、$s = \frac{L}{x_0 + v_0 t}$ とおくと、$\frac{ds}{dt} = -\frac{L v_0}{(x_0 + v_0 t)^2}$ となります。また、$\frac{d\theta}{ds} = \frac{1}{1 + s^2} = \frac{1}{1 + \left( \frac{L}{x_0 + v_0 t} \right)^2} = \frac{(x_0 + v_0 t)^2}{(x_0 + v_0 t)^2 + L^2}$ となります。したがって、

$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{(x_0 + v_0 t)^2}{(x_0 + v_0 t)^2 + L^2} \cdot \left( -\frac{L v_0}{(x_0 + v_0 t)^2} \right) = -\frac{L v_0}{(x_0 + v_0 t)^2 + L^2}$ となります。

(4) 角運動量 $\mathbf{L}$ を求めます。質量の $m$ の質点の速度ベクトルは $\mathbf{v} = v_0 \mathbf{e}_x$ です。したがって、角運動量 $\mathbf{L}$ は $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times (m \mathbf{v}) = ((x_0 + v_0 t) \mathbf{e}_x + L \mathbf{e}_y) \times (m v_0 \mathbf{e}_x) = -L m v_0 \mathbf{e}_z$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{r} = (x_0 + v_0 t) \mathbf{e}_x + L \mathbf{e}_y$

(2) $\tan \theta = \frac{L}{x_0 + v_0 t}$

(3) $\omega = -\frac{L v_0}{(x_0 + v_0 t)^2 + L^2}$

(4) $\mathbf{L} = -L m v_0 \mathbf{e}_z$