地上から秒速 $a$ mで真上に投げ上げたボールの、投げ上げてから$t$秒後の地上からの高さが $(at - 5t^2)$ mで表される。 (1) 投げ上げてから4秒後のボールの高さが60mであるとき、$a$の値を求める。 (2) 投げ上げたボールが地上に落下するのは、投げ上げてから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

地上から秒速 $a$ mで真上に投げ上げたボールの、投げ上げてから$t$秒後の地上からの高さが $(at - 5t^2)$ mで表される。

(1) 投げ上げてから4秒後のボールの高さが60mであるとき、$a$の値を求める。

(2) 投げ上げたボールが地上に落下するのは、投げ上げてから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

(1)

4秒後の高さが60mなので、$t=4$を高さの式に代入し、方程式を立てて$a$を求める。

$a \times 4 - 5 \times 4^2 = 60$

$4a - 5 \times 16 = 60$

$4a - 80 = 60$

$4a = 140$

$a = \frac{140}{4}$

$a = 35$

(2)

ボールが地上に落下するとき、高さは0mである。したがって、$at - 5t^2 = 0$ となる$t$を求める。ただし、$t=0$は投げ上げる前なので、$t \neq 0$。

$a$の値は(1)で求めたように35なので、$35t - 5t^2 = 0$

$5t(7-t)=0$

$t=0$ または $t=7$

$t=0$はボールを投げる前なので、条件に合わない。よって、$t=7$となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 35$

(2) 7秒後