1個200円で仕入れた商品を250円で売ると1日に600個売れる。売値を1円下げると売上個数は15個増え、1円上げると売上個数は15個減る。1日の利益を最大にする仕入れの個数と1個当たりの売値を求めよ。

1. 問題の内容

1個200円で仕入れた商品を250円で売ると1日に600個売れる。売値を1円下げると売上個数は15個増え、1円上げると売上個数は15個減る。1日の利益を最大にする仕入れの個数と1個当たりの売値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、売値を $x$ 円としたときの売上個数を求める。

250円を基準として、$x$ 円との差を考える。

売値を $x$ 円にすると、$250 - x$ 円値下げすることになる。

したがって、売上個数は $600 + 15(250 - x)$ 個となる。

仕入れ個数も売上個数と同じなので、$600 + 15(250 - x)$ 個を仕入れる。

次に、利益を計算する。

利益は、（売上単価 - 仕入れ単価）× 売上個数 で求められる。

売上単価は $x$ 円、仕入れ単価は200円なので、

利益 $= (x - 200)(600 + 15(250 - x))$

$= (x - 200)(600 + 3750 - 15x)$

$= (x - 200)(4350 - 15x)$

$= -15x^2 + 4350x + 3000x - 870000$

$= -15x^2 + 7350x - 870000$

この2次関数を最大にする $x$ を求める。

2次関数の頂点の $x$ 座標は、 $x = -b / 2a$ で与えられる。

$a = -15$, $b = 7350$ なので、

$x = -7350 / (2 * -15)$

$= 7350 / 30 = 245$

したがって、売値を245円にすると利益が最大になる。

このときの売上個数は $600 + 15(250 - 245) = 600 + 15 * 5 = 600 + 75 = 675$ 個となる。

3. 最終的な答え

仕入れの個数: 675個

1個当たりの売値: 245円