レナードジョーンズポテンシャル $V(r) = 4\epsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \right]$ が与えられている。ポテンシャルエネルギーが最小となる原子間距離 $r_e$ を $\sigma$ で表す。$r_e = \sqrt[6]{A} \sigma$ と表せるとき、$A$ の値を求める。

1. 問題の内容

レナードジョーンズポテンシャル $V(r) = 4\epsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \right]$ が与えられている。ポテンシャルエネルギーが最小となる原子間距離 $r_e$ を $\sigma$ で表す。$r_e = \sqrt[6]{A} \sigma$ と表せるとき、$A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ポテンシャルエネルギーが最小となる $r_e$ は、$V(r)$ を $r$ で微分したものが 0 になる点で求まる。

まず、$V(r)$ を $r$ で微分する。

$\frac{dV}{dr} = 4\epsilon \left[ (-12)\frac{\sigma^{12}}{r^{13}} - (-6)\frac{\sigma^{6}}{r^{7}} \right] = 4\epsilon \left[ -12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}} + 6\frac{\sigma^{6}}{r^{7}} \right]$

$\frac{dV}{dr} = 0$ となる $r$ を求める。

$-12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}} + 6\frac{\sigma^{6}}{r^{7}} = 0$

$6\frac{\sigma^{6}}{r^{7}} = 12\frac{\sigma^{12}}{r^{13}}$

$\frac{1}{r^{7}} = 2\frac{\sigma^{6}}{r^{13}}$

$r^{13} = 2\sigma^{6}r^{7}$

$r^{6} = 2\sigma^{6}$

$r = \sqrt[6]{2} \sigma$

よって、$r_e = \sqrt[6]{2} \sigma$ となる。

問題文より $r_e = \sqrt[6]{A} \sigma$ であるから、$A = 2$ である。

3. 最終的な答え

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